Некоторые аналитические функции дожития

Основные соотношения. Функция дожития и повозрастная смертность связаны соотношениями

V (t) = m(t) = –

Средняя продолжительность жизни

Ожидаемая продолжительность предстоящей жизни лиц в возрасте t:

Доля лиц в диапазоне возрастов [t₁, t₂] в общей численности (для стационарного населения)

w (t₁, t₂) =

В дальнейшем будет использовано обозначение

I (t₁, t₂) =

так что

= I (0, ∞); I (t,∞) /V (t); w (t₁, t₂) = I (t₁, t₂) / .

Модель нестареющего населения. Характеризуется постоянством повозрастной смертности:

m(t) = m = const, 0 £ t < ∞.

Отсюда — функция дожития

V (t) = e^{– mt}, 0 £ t < ∞.

Средняя продолжительность жизни = 1 / m. Ожидаемая продолжительность предстоящей жизни лиц в возрасте t: 1 / m.

Доля лиц в диапазоне возрастов [t₁, t₂] в общей численности (для стационарного населения) w (t₁, t₂) =

Модель мгновенно стареющего населения. Характеризуется постоянством повозрастной смертности в пределах от 0 до максимального возраста T:

m(t) = m = const, 0 £ t < T.

Значению t = T соответствует отрицательная d-образная компонента, так что функция дожития обращается в 0 при t ³ T:

V (t) = e^{– mt}, 0 £ t < T.

В этом случае

I (t₁, t₂) = () / m.

Остальные характеристики:

=; [1 – e ^{m( T – t)}] / m; w (t₁, t₂) = .

Степенная модель. Как и в предыдущем случае, возраст ограничен сверху предельным значением T; повозрастная смертность описывается выражением

m(t) =, 0 £ t < T, A > 0.

Теперь функция дожития имеет вид

V (t) = ,

а интеграл от нее —

I (t₁, t₂) =

так что

=; = ; w (t₁, t₂) =.

Удобство данной функции для различных упражнений состоит в том, что параметр A просто выражается через T и :

A = .

Гиперболическая модель. Здесь также возраст ограничен сверху предельным значением T; функция дожития

V (t) = , 0 £ t < T, k > 1.

Ей соответствует повозрастная смертность

m(t) =

и интеграл

I (t₁, t₂) = .

Остальные характеристики:

=;

.