Замечание

Аналогично решаются и системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Отличие будет лишь в том, что вместо одного операторного уравнения, получим систему таких уравнений, которые будут линейными относительно изображений искомых функций.

Пример № 2. Найти решение системыпризаданных начальных условиях .

Решение.

Перейдем к изображениям: пусть ,

, ,

, (по таблице изображений).

Подставим в заданную систему и получим систему из двух операторных уравнений:

Из первого уравнения выразим

(*)

и подставим во второе уравнение: .

Выразим отсюда :

(**)

Подставим (**) в выражение (*):

Преобразуем:

(***)

Найдем оригиналы для каждого слагаемого равенств (**) и (***) отдельно.

Рассмотрим (**). Преобразуем равенство к виду, пригодному для нахождения оригиналов.

Найдем оригиналы:

, , – по таблице изображений.

.

В данном случае воспользовались теоремой Бореля о свертке функций и следующими формулами для гиперболических функций: ,

Следовательно, имеет вид:

Рассмотрим (***).

Найдем оригиналы:

, , – по таблице изображений.

Воспользовались теоремой Бореля о свертке функций и следующими формулами для гиперболических функций: , , .

Следовательно, имеет вид:

Ответ: Решение системы имеет вид:

Замечание.