П. 2. Условия существования оригинала и вычисление интеграла Меллина

Теорема 5. (условие существование оригинала) Пусть функция F (p) комплексного переменного p = x + iy удовлетворяет следующим условиям:

1) F (p) – аналитическая функция в области ,

2) в области при равномерно относительно arg p,

3) для всех сходится интеграл ,

тогда F (p) при является изображением функции f (t) действительного переменного t, которая определяется выражением (8).

(без доказательства)

Во многих случаях интеграл Меллина может быть вычислен с помощью контурных интегралов от функции комплексного переменного. Но непосредственное применение формулы обращения часто затруднительно, поэтому пользуются теоремами разложения, являющимися следствиями теоремы 3.

Теорема 6. (вторая теорема разложнения). Если изображение F (p) является однозначной функцией и имеет лишь конечное число особых точек p ₁, p ₂, …, p_n, лежащих в конечной части плоскости, то

(9)

(без доказательства)

Теорема 6. (первая теорема разложнения, случай регулярной на бесконечности функции). Если функция F (p) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки и ее разложение в ряд Лорана в окрестности точки имеет вид