2014-01-24
968
Примеры на использование теорем разложения.
Пример № 1. Найти оригинал функции 
, где 
.
Условия теоремы 5 выполнены, следовательно, оригинал функции 
может быть найден по формуле Меллина. Функция является аналитической, однозначной функцией и имеет две особые точки 
, так как знаменатель обращается в них в нуль:
.
– полюсы 1-го порядка, т.к.
, 
При 
из 2-ой теоремы разложения следует, что
Ответ: 
Пример № 2. Найти оригинал функции 
.
Решение.
Найдем особые точки: 
.
является однозначной, аналитической функцией в окрестности бесконечно удаленной точки 
, значит, в этой окрестности может быть разложена в ряд Лорана:
[ используем известное разложение в ряд Маклорена функции 
Из 1-ой теоремы разложения следует, что если , аналитическая в некоторой окрестности т. имеет разложение в ряд Лорана вида 
, то оригиналом ее является функция 
. В нашем случае 
, следовательно
функция Бесселя нулевого порядка
Ответ: 
Пример № 3. Найти оригинал функции 
.
Решение.
1 способ (с использованием теоремы 1)
является однозначной, аналитической функцией в окрестности бесконечно удаленной точки . Разложим ее в этой окрестности в ряд Лорана:
Из 1-ой теоремы разложения следует, что если , аналитическая в некоторой окрестности т. имеет разложение в ряд Лорана вида 
, то оригиналом ее является функция 
. В нашем случае 
, следовательно
функция Бесселя первого порядка с нулевым индексом.
2 способ (с использованием теоремы 2)
– существенно особая точка функции , так как 
не существует, тогда по теореме 1 
. Т.е. для решения задачи нам требуется найти коэффициент при (-1)–ой степени разложения функции
в ряд Лорана.
Найдем данное разложение в окрестности точки :
, следовательно
Ответ: 
.
