Решение.. Примеры на использование теорем разложения

Примеры на использование теорем разложения.

Пример № 1. Найти оригинал функции , где .

Условия теоремы 5 выполнены, следовательно, оригинал функции может быть найден по формуле Меллина. Функция является аналитической, однозначной функцией и имеет две особые точки , так как знаменатель обращается в них в нуль:

.

– полюсы 1-го порядка, т.к.

,

При из 2-ой теоремы разложения следует, что

Ответ:

Пример № 2. Найти оригинал функции .

Решение.

Найдем особые точки: .

является однозначной, аналитической функцией в окрестности бесконечно удаленной точки , значит, в этой окрестности может быть разложена в ряд Лорана:

[ используем известное разложение в ряд Маклорена функции

Из 1-ой теоремы разложения следует, что если , аналитическая в некоторой окрестности т. имеет разложение в ряд Лорана вида , то оригиналом ее является функция . В нашем случае , следовательно

функция Бесселя нулевого порядка

Ответ:

Пример № 3. Найти оригинал функции .

Решение.

1 способ (с использованием теоремы 1)

является однозначной, аналитической функцией в окрестности бесконечно удаленной точки . Разложим ее в этой окрестности в ряд Лорана:

Из 1-ой теоремы разложения следует, что если , аналитическая в некоторой окрестности т. имеет разложение в ряд Лорана вида , то оригиналом ее является функция . В нашем случае , следовательно

функция Бесселя первого порядка с нулевым индексом.

2 способ (с использованием теоремы 2)

– существенно особая точка функции , так как не существует, тогда по теореме 1 . Т.е. для решения задачи нам требуется найти коэффициент при (-1)–ой степени разложения функциив ряд Лорана.

Найдем данное разложение в окрестности точки :

, следовательно

Ответ: .