Линейные неоднородные ДУ

Это уравнения вида:

Теорема об общем решении ДУ: Общее решение ДУ(*) имеет вид:

, где - общее решение соответствующего однородного уравнения.

Доказательство: подставим в

раскроем скобки и перегруппируемся:

(верно)

Если даны н.у

нужно показать, что все константы находятся однозначно

, где ФСР

Продифференцируем нужное количество раз и подставим н.у

получим систему n-линейных уравнений с n неизвестными . Определитель этой системы

- определитель Вронского системы функций .

Т.к - ФСРлинейная система имеет единственное решение и все константы находятся однозначно.

Конец доказательства.

Замечание: Общее решение соответствующего однородного уравнения

- линейная комбинация ФСР – известно

Основная трудность нахождения y_ч – решения неоднородного уравнения.