Функция распределения вероятностей случайной величины

.

Среднее квадратическое отклонение

.

.

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е..

В самом деле.

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е.

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсии, т.е.

5. Дисперсия числа появления события А в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании, т.е..

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг её среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии и обозначается σ(:

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность σ(совпадает с размерностью случайной величины. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию.

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех её возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он не применим, например, для непрерывных случайных величин, так как в этом случае не предоставляется возможным перечислить все возможные значения. Поэтому вводят понятие функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее, т.е. вероятность события, обозначим через.

Функцией распределения называется функция, определяющая вероятность того, что случайная величин в результате испытания примет значение, меньшее, т.е.

.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1..

2. Если, то.

В самом деле, пусть. Событие, состоящее в том, что примет значение, меньшее, можно подразделить на два несовместных события: примет значение, меньшее и примет значение, удовлетворяющее неравенству т.е.). По теореме сложения имеем:), откуда

) или. Т.к. любая вероятность есть число неотрицательное, то или.

Если и, то. Таким образом, вероятность того, что случайная величина примет значение, заключённое в интервале, равна приращению функции распределения на этом интервале:

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу, то

а), б). График функции распределения непрерывной случайной величины имеет вид: