Определение рационального числа

Рациональное число - это число, представляемое обыкновенной дробью , где - целое число, - натуральное число. При этом число называется числителем, а число - знаменателем дроби .

Рассмотрим семейство пар . Назовём две пары эквивалентными: , если . Аналогично теореме 2 предыдущего параграфа, это отношение является отношением эквивалентности. Это отношение задает разбиение множества, на котором оно задано на классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся эквивалентные между собой пары (равные между собой дроби). В качестве обозначения принято использовать дробную запись: .

Определение 1. Положительным рациональным числом называется класс эквивалентных пар, а каждая пара, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.

Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать . Определим на этом множестве отношение равенства.

Определение 2. Если положительное рациональное число представлено парой , а положительное рациональное число - другой парой , то тогда и только тогда, когда .

Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются эквивалентными парами.