Сложение рациональных чисел

Пользуясь имеющейся операцией сложения на множестве целых чисел, введём соответствующую операцию на построенном множестве рациональных чисел: .

Предложение 1. Введенная операция сложения корректна, то есть не зависит от выбора представителей соответствующих классов эквивалентности.

Доказательство. Пусть и . Тогда и . Так как , то . Аналогично, . Тогда и . Отсюда получаем, что и . Следовательно,

Свойства сложения:

1) Коммутативность:

Доказательство: .

2) Ассоциативность: .

Доказательство: .

.

Доказательство:

.