Обыкновенные дроби

.

Теорема. Если функции определены и непрерывны на отрезке и ряд сходится равномерно на к сумме, то его можно почленно интегрировать на этом отрезке

Теорема. Если члены ряда удовлетворяют неравенствам, где, а числа, не зависящие от, и, если ряд сходится, то ряд сходится равномерно на множестве X.

Теорема. Для того чтобы ряд сходился равномерно на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы.

Функциональные ряды

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Рассмотрим интервал и определим вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значения, заключённые в этом интервале. Согласно свойству 2 имеем. Разделим эту величину на ширину интервала, получим величину вероятности, приходящейся на единицу длины интервала:, которую назовём средней плотностью распределения вероятности на интервале. Введём понятие плотности распределения вероятности в данной точке, определив её как предел средней плотности на интервале при условии, что и указанный предел существует. Обозначим эту плотность распределения вероятностей через, тогда

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. А именно. Таким образом:

Заметим, что закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан как функцией распределения, так и плотностью распределения. Для дискретной случайной величины имеет смысл только функция распределения вероятностей (почему?).

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу.. Так как

В каждой точке определения функций если принять, то функциональный ряд:

преобразуется в числовой ряд:

, который может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

Совокупность значений при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Суммой ряда называется функция, определенная в каждой точке области сходимости ряда.

По определению предела означает, что.

Последовательность функций сходится равномерно к на множестве, если.

Ряд сходится равномерно на множестве X к сумме, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на множестве к функции.

v Признак равномерной сходимости, основанный на сравнении функционального ряда со сходящимся числовым.

v Достаточные условия непрерывности суммы ряда.

Теорема. Если функции определены и непрерывны на множестве X и ряд сходится равномерно к сумме S(x), то эта сумма будет непрерывна на множестве X.

v Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема. Если функции определены на отрезке и существуют непрерывные производные на интервале, а ряд сходится на и равномерно сходится ряд, то сумма ряда имеет на непрерывную производную, причем,. Таким образом, ряд можно почленно дифференцировать.

.

ПРИМЕР №1. Найти сумму ряда.

ПРИМЕР №2. Найти сумму ряда.

ПРИМЕР №3. Найти область сходимости ряда.

Ряд будет сходится при Причем при - условно имеем.

Следовательно

сходится условно.

Область сходимости.

x

Пусть требуется измерить длину отрезка с помощью единичного отрезка (рисунок).

При измерении оказалось, что отрезок состоит из трех отрезков, равных , и отрезка, который короче отрезка . В этом случае длина отрезка не может быть выражена натуральным числом. Однако, если отрезок разбить на 4 равные части, то отрезок окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка . И тогда, говоря о длине отрезка , мы должны указывать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому длину отрезка обозначают: , где - длина единичного отрезка , а символ называют дробью.

Определение 1. Пусть даны отрезок и единичный отрезок , длина которого равна . Если отрезок состоит из отрезков, равных -ой части отрезка , то длина отрезка может быть представлена в виде , где символ называют дробью (и читают «эм энных»).

В записи числа и – натуральные, называется делителем, - знаменателем дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя дроби, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Вернемся к рисунку. Очевидно это не единственный вариант выбора такой части отрезка , которая укладывается в отрезке целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка , тогда отрезок будет состоять из 28 таких частей и его длина будет выражаться дробью .

Длина одного и того же отрезка при заданном единичном отрезке может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида , где - натуральное число.

Теорема 1. Для того, чтобы дроби и выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство .

Определение 2. Две дроби и называются равными, если .

Если дроби равны, то пишут .

Например, , так как , а , потому что и .

Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.

Теорема 2. Равенство дробей является отношением эквивалентности.

Доказательство. 1) Рефлексивность: , так как ;

2) Симметричность: если , то . Тогда , следовательно, .

3) Транзитивность: если и , то и . Тогда и . Следовательно, или . Откуда .

Теорема доказана.

Из определения дробей вытекает основное свойство дробей: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение дробей – это замена одной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называется несократимой.

Приведение дробей к общему знаменателю – это замена данных дробей равными дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей и является общее кратное чисел и , а наименьшим общим знаменателем – их наименьшее общее кратное.