Степенной ряд

Степенным рядом называется ряд вида:

,

(1)

где ‑ числовые коэффициенты, ‑ фиксированное число и ‑ переменная.

Если зафиксировать , то получится числовой ряд. Если этот числовой ряд сходится, то говорят, что степенной ряд (1) сходится в точке . Множество всех точек , в которых ряд (1) сходится, называют множеством сходимости ряда (1).

Пример. Ряд сходится абсолютно при , т.к. при сходится. Если же , то не стремится к нулю, т.е. не выполнено необходимое условие сходимости и ряд расходится. Таким образом, множеством сходимости ряда является .

Множество сходимости всякого ряда (1) есть промежуток, середина которого находится в точке . Промежуток сходимости может быть отрезком, полуинтервалом, интервалом, бесконечным промежутком или промежутком нулевой длины, т.е. точкой . Число , равное половине длины промежутка сходимости, называют радиусом сходимости. Радиус сходимости ряда (1) может быть вычислен следующим образом:

1. , если такой предел существует;

2. , если такой предел существует.

Если в формулах 2. и 3. пределы равны 0, то . Если пределы равны , то .

Если ‑ конечное число, то промежуток принадлежит множеству сходимости. В ряде случаев множеству сходимости могут принадлежать также точки и .

Пример. Ряд имеет радиус сходимости .

Значит, интервал входит в промежуток сходимости. Исследуем сходимость ряда на концах интервала . При получаем ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получаем ряд , который расходится. Таким образом, промежуток сходимости ряда – полуинтервал .

Пример. Ряд имеет радиус сходимости . Значит, интервал сходимости .

Изучим сходимость ряда на концах этого интервала. При получаем ряд , который сходится абсолютно. При получаем ряд , который также сходится. Значит, промежуток сходимости – отрезок .

Если функция в точке имеет производные любого порядка, то для нее можно построить степенной ряд:

(2)

Этот ряд называется рядом Тейлора для функции в точке .

Множество сходимости ряда (2) не всегда совпадает с областью определения функции , а его сумма не обязательно равна . Если сумма ряда (2) совпадает с на множестве , то можно написать:

(3)

В этом случае говорят, что на множестве разложена в степенной ряд (3). Справедливы следующие разложения:

, .

,

, .

, .

, .

Пример. Разложить по степеням функцию .

Если обозначить , то, используя разложение , получаем: .

Пример. Разложить по степеням функцию .

Обозначим и используем разложение , получим .