Линейная зависимость и независимость векторов

Определение 9. Система векторов (1) данного векторного пространства называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору только с нулевыми коэффициентами.

- линейно независима Û ().

Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор коэффициентов a₁, a₂, …, a_n, такой, что .

Задача 4.

Доказательство. Þ Пусть системе векторов является максимальной линейно независимой и пусть - любой вектор из V. По определению 10, система , будет линейно зависимой, т.е. найдётся такой ненулевой набор коэффициентов a₁, a₂, …,a_n, b, что . Если бы b = 0, то с ненулевым набором коэффициентов, что противоречит определению (10). Следовательно, b ¹ 0 и, поэтому . Итак, любой вектор является линейной комбинацией векторов системы (1).

Ü Пусть любой вектор можно представить в виде . Отсюда следует, что . Так как набор коэффициентов (-1, a₁, a₂, …,a_n) ненулевой, то система векторов , будет линейно зависимой. Следовательно, система (1) будет максимальной линейно независимой.

Примеры.

1. Во множестве всех геометрических векторов любая тройка некомпланарных векторов является максимальной линейно независимой системой векторов.

2. Во множестве всех компланарных векторов любая пара неколлинеарных векторов является максимальной линейно независимой системой векторов.

3. Во множестве всех коллинеарных векторов любая максимальная линейно независимая система состоит из одного ненулевого вектора.

4. Векторное пространство, состоящее из одного нулевого вектора, не имеет линейно независимых систем векторов.