Проекция на прямую параллельно данной плоскости

Пусть l – прямая, П – плоскость и l П. Пусть М – произвольная точка. Через точку М

проведём плоскость П₁, параллельную П. Пусть М₁ = l Ç П₁. Точка М₁ называется проекцией точки М на прямую l параллельно плоскости П. Свойства проекций. 1⁰. Каждая точка имеет проекцию и только одну. 2⁰. Точка совпадает со своей проекцией тогда и только тогда,

Рис. 9

когда она лежит на прямой l.

3⁰. Точки имеют одну и ту же проекцию тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости, параллельной П.

4⁰. Если отрезок параллелен плоскости П, то он проектируется в точку. Если отрезок не параллелен плоскости П, то его проекция – отрезок.

5⁰. Проекция ориентированного отрезка есть ориентированный отрезок. Следовательно, проекцией вектора будет вектор. Он называется векторной проекцией данного вектора и обозначается (параллельно П). Если проектирование идёт параллельно только одной плоскости, то слова в скобках можно опускать.

6⁰. Равные и параллельные отрезки имеют равные проекции.

Доказательство. Пусть отрезки [АВ] и [СD] равны и параллельны. Если [АВ] параллелен плоскости П, то [СD] тоже параллелен плоскости П. В этом случае оба отрезка проектируются в точку. Следовательно, их проекции равны.

Рис. 10

Пусть [АВ], а поэтому и [СD], не параллельны плоскости П. Пусть [АВ] проектируется в [А₁В₁], а [СD] - в [С₁D₁]. При параллельном переносе на вектор Плоскость П₁ перейдёт в П₃, П₂ - в П₄, прямая l - сама в себя. Следовательно, все отрезки с концами в плоскостях П₁ и П₂ перейдут в некоторые отрезки с концами в плоскостях П₃ и П₄. Отсюда и следует, что [А₁В₁] равен и параллелен [С₁D₁].