Конические поверхности

Определение 11. Конической поверхностью с направляющей Г и вершиной S (S и Г не лежат в одной плоскости) называется множество точек всех возможных прямых, проходящих через S и пересекающих Г.

Коническую поверхность обозначим К. Прямые, на которых лежат все точки К, называются образующими.

Пусть в пространстве зафиксирована система аффинных координат, S(х0, у0, z0), Г: М Î К Û М лежит хотя бы на одной из образующих. Пусть М Îq. Каждая образующая пересекает линию Г. Пусть Г Ç q = N (рис. 19). Если N(х1, у1, z1), то (*) Прямая q проходит через две точки, N и S, М Î q Û х = х0 + (х1 – х0)×t, у = у0 + (у1 – у0)×t, z = z0 + (z1 - z0)×t, tÎR. И этих равенств х1 = , у1 = , .

Рис. 19

Подставив х₁, у₁, z₁ в систему (*), получим уравнения данной конической поверхности, но эти уравнения содержат параметр t. Для того, чтобы получить общее уравнение К, нужно из полученной системы исключить параметр t.

Получили следующие правила для составления уравнения конической поверхности:

Для составления уравнения поверхности К достаточно в уравнениях направляющей заменить х на , у на , z на и из полученной системы исключить параметр t.

Пример 3. Найдите уравнение конической поверхности с вершиной S(2, 2, -3), если

направляющей является эллипс , z = 0. Решение. В уравнениях эллипса заменим х на , у на , z на . Получим , = 0. Найдём из второго уравнения t, получим t = . Подставив в первое уравнение, получим

Рис.20

81х² +36у² - 272z² +108хz - 48уz - 288у - 1752 z - 2340 =0.

Замечание. Если направляющей является линия второго порядка, то полученная поверхность называется конусом второго порядка. Можно показать, что для любого конуса второго порядка можно в качестве направляющей взять эллипс, поэтому конус второго порядка называют эллиптическим конусом.