Однополостный гиперболоид

Определение 14. Однополостным гиперболоидом называется множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением

(31)

Из уравнения (31) следует

· , т.е. гиперболоид лежит вне эллиптического цилиндра, образующие которого параллельны оси (ОZ);

· Однополостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

Исследуем форму этого гиперболоида методом сечений.

I. Пересечём гиперболоид плоскостью, параллельной (ХОУ), её уравнение z = h. Уравнения сечения будут (**)

При любом h это уравнение определяет эллипс с полуосями а и b. Наименьший эллипс получается при h = 0, т.е. в плоскости (ХОУ). При возрастании ½h½ полуоси эллипсов увеличиваются и стремятся к бесконечности (рис. 24). II. При пересечении гиперболоида плоскостями у = m, параллельными плоскости (УОZ). Уравнения сечений у = m. (***) Возможны случаи: 1) -b < m < b. Сечениями будут гиперболы, действительные оси которых параллельны оси (ОХ) и полуоси имеют длину

Рис. 24

а и b. Наибольшие полуоси получаются при m = 0. При увеличении ½m½ полуоси уменьшаются и стремятся к нулю. Следовательно, ветви гиперболы сближаются.

2)½m½ = b. В этом случае . Это уравнение определяет пару пересекающихся прямых. Итак, плоскости у = b и у = -b пересекают каждая гиперболоид по паре пересекающихся прямых.

3) ½m½ > b. В этом случае уравнения (***) определяют гиперболу, действительная ось которой параллельна оси (ОZ). При увеличении ½m½ полуоси будут возрастать, следовательно, ветви гиперболы удаляются друг от друга (рис. 24).

III. При пересечении гиперболоида плоскостями х = n, параллельными плоскости (УОZ) получим результаты, аналогичные результатам предыдущего пункта (проведите это исследование сами).