Эллипсоид

Определение 13. Эллипсоидом называется множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением

(30)

Из уравнения сразу следуют такие свойства эллипсоида:

· - а £ х £ а, - b £ у £ b, -с £ z £ с. Следовательно, эллипсоид лежит внутри прямоугольного параллелепипеда, симметричного относительно координатных плоскостей, длины рёбер которого равны 2 а, 2 b, 2 с;

· Эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

Исследуем форму эллипсоида.

Если поверхность задана уравнением, то исследование её формы часто бывает удобно проводить методом сечений. Для этого исследуемую поверхность пересекают различными плоскостями, проще всего координатными и параллельными координатным.

I. Пересечём эллипсоид плоскостью, параллельной (ХОУ), её уравнение z = h. Уравнения сечения будут (*)

Возможны случаи:

1) -с < h < с. В этом случае система (*) определяет эллипс в плоскости z = h. Полуоси эллипса равны а и b. Наибольшие полуоси получаются при h = 0, т.е. в плоскости (ХОУ). При h ® ± с полуоси стремятся к нулю, т.е. эллипс стягивается в точку. 2) h = ± с. В каждой из этих плоскостей система (*) определяет точку, т.е. плоскости z = ± с пересекают эллипсоид в одной точке каждая (рис.23).

Рис. 23