Методом вариации произвольных постоянных

21 22 23 24 25 26 27

Нахождение решения линейного неоднородного уравнения

Этот метод рассмотрим на примере уравнения II порядка:

(1)

Запишем однородное уравнение, соответствующее уравнению (1):

(5)

Пусть и фундаментальная система решений уравнения (2), тогда его общее решение .

Решение уравнения (1) будем искать так: в варьируем произвольные постоянные, т.е. будем считать их функциями от х, т.е. .

И потребуем, чтобы функция удовлетворяла уравнению (1).

Вычислим производную:

Потребуем, чтобы выполнилось равенство:

(А)

Тогда , следовательно,

Подставляя в уравнение (1), получим тождество:

Сгруппируем слагаемые с и :

Обе скобки равны нулю, так как и решения уравнения (2).

Значит, остается:

(В)

Таким образом, чтобы функция была решением уравнения (1) достаточно, чтобы выполнялись равенства (А) и (В), т.е. приходим к системе:

(С)

Функции и неизвестные в этой системе. Определитель этой системы – есть вронскиан решений и в силу фундаментальности решений , значит, система имеет единственное решение:

Интегрируя, находим:

Подставляя найденные функции в общий вид решения, получаем общее решение линейного неоднородного уравнения:

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Как известно, фундаментальная система решений однородного уравнения , следовательно:

;

Составим систему (С):

Находим ; .

Ответ:

Замечание. Для линейного неоднородного уравнения более высокого порядка метод вариации произвольной постоянной применяется аналогично (система будет больше).

16. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами

16.1 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение. Линейным однородным уравнением п -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение:

(1)

где действительные числа.

Будем искать решение (1) в виде .

Найдем производные:

Подставляя у и его производные в уравнение (1), получим тождество:

Сократив все уравнение на , приходим к уравнению:

(2)

Определение. Уравнение (2) называется характеристическим уравнением уравнения (1). Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение, имеющее п корней. Корни могут быть действительными или комплексными или часть действительными и часть комплексными.

Таким образом, если функция - решение уравнения (1), то число k – решение (корень) уравнения (2) и наоборот.

Пусть дано линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

При замене:

Приходим к характеристическому уравнению:

(2)

В зависимости от корней характеристического уравнения (2) будет меняться вид общего решения уравнения (1). Вопрос о структуре общего решения уравнения (1) рассмотрим на примере линейного однородного уравнения II порядка с постоянными коэффициентами:

(3)

где действительные числа.

Его характеристическое уравнение имеет вид:

(4)

Могут представиться 3 случая.

Случай 1. Пусть корни характеристического уравнения (4) действительные и различные, т.е. .

Теорема 1. Если корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение уравнения (3) имеет вид:

где и постоянные.

Доказательство. Пусть корни уравнения (4), . Так как уравнение (3) частный случай уравнения (1), то согласно сказанному выше: являются частными решениями уравнения (3).

Найдем , так как , то есть функция, значит и линейно независимые функции и образуют фундаментальную систему решений уравнения (3).

По теореме о структуре общего решения линейного уравнения (п.13) утверждаем, что общее решение (3) имеет вид:

Теорема доказана.

Пример 1. .

Решение. .

Ответ: .

Случай 2. Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные .

Теорема 2. Если корни характеристического уравнения (4) действительные и равные k, то общее решение уравнения (3) имеет вид:

Доказательство. Пусть корни характеристического уравнения равны между собой и равны k, тогда мы знаем, что функция одно из решений уравнения (3) (частное). Так как уравнение второго порядка, то должно быть еще одно решение. Другое частное решение будем искать в виде:

(*)

где неизвестная функция, и должны быть линейно независимыми.

Найдем производные :

	(**)
	(***)

Подставляя равенства (*), (**), (***) в уравнение (3), получим тождество:

Сгруппируем слагаемые с и сократим на :

Так как есть корень характеристического уравнения (4), то последняя скобка равна нулю, кроме того, по теореме Виета: .

Остается .

Интегрируя это уравнение 2 раза, получаем:

Так как мы ищем второе частное решение уравнения (3), то достаточно в последнем равенстве положить .

Тогда и .

Нетрудно проверить, что является функцией, следовательно, и образуют фундаментальную систему решений. Тогда по теореме о структуре общего решения линейного однородного уравнения утверждаем, что:

Теорема доказана.

Пример 2.

Решение. . .

Ответ: .

Случай 3. Пусть корни характеристического уравнения (4) комплексные: .

Сначала докажем лемму.

Лемма. Если функция является решением уравнения (3), то ее действительная и мнимая части и также является решениями этого уравнения.

Доказательство. Пусть решение уравнения (3). Найдем производные и подставим их в (3):

Сгруппируем все с функцией u и v:

Комплексное выражение обращается в 0 тогда и только тогда, когда его действительные и мнимые части равны нулю, т.е.

Это говорит о том, что и решения уравнения (3).

Лемма доказана.

Теорема 3. Если корни характеристического уравнения комплексные , то общее решение уравнения (3) имеет вид:

Доказательство. Пусть корни характеристического уравнения (4). Им соответствуют частные решения уравнения (3):

;

По формулам Эйлера имеем:

Тогда:

Раскрывая скобки, получим:

Эти функции являются решением (3), но тогда по лемме их действительные и мнимые части также являются решениями уравнения (3).

Таким образом, мы можем взять два частных решения уравнения (3):

Эти решения линейно независимы, т.к. . Значит, они образуют фундаментальную систему решений уравнения (3). По теореме о структуре общего решения линейного однородного уравнения II порядка имеем:

, или

Теорема доказана.

Замечание. Если корни характеристического уравнения чисто мнимые , то полагаем и решение имеет вид:

Пример 3.

Решение.

Ответ: .

Обобщим все сказанное выше об уравнении II порядка на линейное однородное уравнение п -го порядка с постоянными коэффициентами. Запишем уравнение:

(1)

Его общее решение находится так: записываем характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (1), и находим его корни.

(2)

где корни.

Частные решения уравнения (1) находим, руководствуясь правилами:

а) если простой действительный корень уравнения (2), то ему соответствует одно частное решение уравнения (1) вида:

б) если действительный корень характеристического уравнения (2) кратности s, то этому корню соответствуют s линейных независимых частных решений уравнения (1) вида:

в) если простой комплексный корень уравнения (2), то сопряженное число также простой комплексный корень уравнения (2). Этой паре комплексных чисел соответствуют два линейных независимых частных решения:

г) если корень уравнения (2) кратности т, то корень уравнения (2) кратности т. Этой паре комплексно сопряженных корней соответствует 2 т линейно независимых частных решений уравнения (1):