double arrow

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами


Определение. Линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

, (1)

где действительные числа.

Например, уравнение II порядка будет выглядеть так:

. (2)

Наша задача найти общее решение линейного неоднородного уравнения (1).

Запишем однородное уравнение, соответствующее (1):

. (3)

Обозначим общее решение уравнения (3), а через какое-нибудь частное решение уравнения (1), тогда по теореме о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения (п.14) решение уравнения (1) имеет вид:

.

Как находить мы знаем, следовательно, остается найти частное решение неоднородного уравнения. Иногда удается найти частное решение линейного неоднородного уравнения по виду правой части, т.е. по виду .

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами:

. (2)

Случай I. Пусть правая часть уравнения (2) имеет вид

,

где многочлен степени п.

Запишем однородное уравнение:

. (4)

Характеристическое уравнение

(5)

имеет два корня.

Справедливы следующие утверждения.

1) Если число а не является корнем характеристического уравнения (5), то частное решение уравнения (2) следует искать в виде:

,

где многочлен с неизвестными коэффициентами той же степени, что и .

2) Если а – корень характеристического уравнения (5) (простой), то

.

3) Если а – кратный корень уравнения (5), то

.

Предположим, что нам удалось установить вид частного решения уравнения (2). Оно содержит многочлен с неизвестными коэффициентами, которые находятся методом уравнивания коэффициентов в левой и правой частях уравнения. Для этого находим производные и подставляем их вместе с самой функцией в уравнение (2), получим тождество. Сокращая его на , получим равенство двух многочленов: с одной стороны многочлен с неизвестными коэффициентами , а с другой . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему линейных уравнений, из которой найдем .

Пример 1. .

Решение. .

1) Найдем : .

корни комплексные, следовательно:

.

2) будем искать в виде:

.

Все подставим в самое первое уравнение:

;

.

Уравнивая коэффициенты, найдем А, В и С:

.

.

Ответ: .

Случай II. Пусть правая часть уравнения (2) имеет вид:

,

где многочлены.

Запишем однородное:

(4)

и характеристическое уравнения:

. (5)

Имеют место следующие утверждения.

1) Если число не корень (5), то следует искать в виде:

где и многочлены с неизвестными коэффициентами, степень каждого из которых равна наибольшей степени многочленов и .

2) Если число является корнем характеристического уравнения (5), то частное решение уравнения (2):

где и многочлены с неизвестными коэффициентами, степень каждого из которых равна наибольшей степени многочленов и .




Коэффициенты в неизвестных многочленах и находятся методом неопределенных коэффициентов аналогично случаю 1.

Замечание. Если правая часть уравнения (2) содержит только синус или косинус, то все равно частное решение надо искать в вышеуказанном виде.

Пример 2. .

Решение.

1)

.

2) Правая часть содержит косинус:

.

Число не является корнем характеристического уравнения, следовательно:

.

Надо найти :

.

Подставим в уравнение:

;

.

.

.

Ответ: .

Заказать ✍️ написание учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Сейчас читают про:
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7