2014-01-25
714
Определение. Линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:
 ,
| (1) |
где 
действительные числа.
Например, уравнение II порядка будет выглядеть так:
 .
| (2) |
Наша задача найти общее решение линейного неоднородного уравнения (1).
Запишем однородное уравнение, соответствующее (1):
 .
| (3) |
Обозначим 
общее решение уравнения (3), а через 
какое-нибудь частное решение уравнения (1), тогда по теореме о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения (п.14) решение уравнения (1) имеет вид:
.
Как находить мы знаем, следовательно, остается найти частное решение неоднородного уравнения. Иногда удается найти частное решение линейного неоднородного уравнения по виду правой части, т.е. по виду 
.
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами:
| .
| (2) |
Случай I. Пусть правая часть уравнения (2) имеет вид
,
где 
многочлен степени п.
Запишем однородное уравнение:
 .
| (4) |
Характеристическое уравнение
| (5) |
имеет два корня.
Справедливы следующие утверждения.
1) Если число а не является корнем характеристического уравнения (5), то частное решение уравнения (2) следует искать в виде:
,
где 
многочлен с неизвестными коэффициентами той же степени, что и 
.
2) Если а – корень характеристического уравнения (5) (простой), то
.
3) Если а – кратный корень уравнения (5), то
.
Предположим, что нам удалось установить вид частного решения уравнения (2). Оно содержит многочлен 
с неизвестными коэффициентами, которые находятся методом уравнивания коэффициентов в левой и правой частях уравнения. Для этого находим производные 
и подставляем их вместе с самой функцией 
в уравнение (2), получим тождество. Сокращая его на 
, получим равенство двух многочленов: с одной стороны многочлен с неизвестными коэффициентами , а с другой . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему линейных уравнений, из которой найдем .
Пример 1. 
.
Решение. .
1) Найдем : 
.
корни комплексные, следовательно:
.
2) будем искать в виде:
.
Все подставим в самое первое уравнение:
;
.
Уравнивая коэффициенты, найдем А, В и С:
.
.
Ответ: .
Случай II. Пусть правая часть уравнения (2) имеет вид:
,
где 
многочлены.
Запишем однородное:
| (4) |
и характеристическое уравнения:
| .
| (5) |
Имеют место следующие утверждения.
1) Если число 
не корень (5), то следует искать в виде:
где 
и 
многочлены с неизвестными коэффициентами, степень каждого из которых равна наибольшей степени многочленов 
и 
.
2) Если число является корнем характеристического уравнения (5), то частное решение уравнения (2):
где и многочлены с неизвестными коэффициентами, степень каждого из которых равна наибольшей степени многочленов и .
Коэффициенты в неизвестных многочленах и находятся методом неопределенных коэффициентов аналогично случаю 1.
Замечание. Если правая часть уравнения (2) содержит только синус или косинус, то все равно частное решение надо искать в вышеуказанном виде.
Пример 2. 
.
Решение.
1) 
.
2) Правая часть содержит косинус:
.
Число 
не является корнем характеристического уравнения, следовательно:
.
Надо найти 
:
.
Подставим в уравнение:
;
.
.
.
Ответ: .
