Теорема 1 (без доказательства). Если система функций, являющихся линейно зависимыми на промежутке
, то определитель Вронского этой системы равен 0 для любого
.
Теорема 2 (без доказательства). Если система п линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения
![]() | (1) |
то определитель Вронского этой системы не обращается в нуль ни в одной точке интервала .
Теорема 3 (без доказательства). Если система частных решений однородного уравнения (1), то определитель Вронского этой системы либо равен нулю для любого
, либо не равен нулю ни в одной точке из интервала
.
12. Фундаментальная система решений
Определение. Любая совокупность п линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения
![]() | (1) |
называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Замечание. Пусть имеем систему из двух функций и
. Эта система будет линейно зависимой, если отношение
, и линейно независимой, если
функция.
13. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения
Теорема. Если есть фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
![]() | (1) |
то его общее решение имеет вид:
,
где произвольные постоянные.
Доказательство. Проведем его для линейного однородного уравнения третьего порядка:
![]() | (*) |
Пусть фундаментальная система решений этого уравнения. Требуется доказать, что функция
общее решение уравнения (*). По теореме 3 (п.9 свойства решения однородного уравнения) эта функция является решением уравнения (*) при любом
. Чтобы показать, что эта функция является общим решением, остается доказать, что если заданы начальные условия
, то
можно подобрать так, чтобы эти начальные условия выполнялись.
Найдем производные решения и подставим начальные данные. Получим систему:
Эта система линейная с тремя неизвестными . Определитель этой системы – это определитель Вронского для системы функций
вычисленный в точке
.
Так как система - фундаментальная, то
, следовательно, система имеет единственное решение:
Функция будет удовлетворять начальным условиям.
По определению общего решения (понятие общего решения п. 6) мы утверждаем, что эта функция действительно общее решение уравнения (*). Теорема доказана.
Пример. Найти общее решение уравнения , если частные решения
.
Решение. Отношение функция, следовательно,
и
линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений.
Значит, общее решение имеет вид:
.