2014-01-25
1049
Теорема 1 (без доказательства). Если 
система функций, являющихся линейно зависимыми на промежутке 
, то определитель Вронского этой системы равен 0 для любого 
.
Теорема 2 (без доказательства). Если система п линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения
 , | (1) |
то определитель Вронского этой системы не обращается в нуль ни в одной точке интервала 
.
Теорема 3 (без доказательства). Если система частных решений однородного уравнения (1), то определитель Вронского этой системы либо равен нулю для любого , либо не равен нулю ни в одной точке из интервала .
12. Фундаментальная система решений
Определение. Любая совокупность п линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения
| , | (1) |
называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Замечание. Пусть имеем систему из двух функций 
и 
. Эта система будет линейно зависимой, если отношение 
, и линейно независимой, если 
функция.
13. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения
Теорема. Если 
есть фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
| , | (1) |
то его общее решение имеет вид:
,
где 
произвольные постоянные.
Доказательство. Проведем его для линейного однородного уравнения третьего порядка:
 . | (*) |
Пусть 
фундаментальная система решений этого уравнения. Требуется доказать, что функция 
общее решение уравнения (*). По теореме 3 (п.9 свойства решения однородного уравнения) эта функция является решением уравнения (*) при любом 
. Чтобы показать, что эта функция является общим решением, остается доказать, что если заданы начальные условия 
, то 
можно подобрать так, чтобы эти начальные условия выполнялись.
Найдем производные решения и подставим начальные данные. Получим систему:
Эта система линейная с тремя неизвестными . Определитель этой системы – это определитель Вронского для системы функций 
вычисленный в точке 
.
Так как система - фундаментальная, то 
, следовательно, система имеет единственное решение:
Функция 
будет удовлетворять начальным условиям.
По определению общего решения (понятие общего решения п. 6) мы утверждаем, что эта функция действительно общее решение уравнения (*). Теорема доказана.
Пример. Найти общее решение уравнения 
, если частные решения 
.
Решение. Отношение 
функция, следовательно, и линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений.
Значит, общее решение имеет вид:
.
