Левую часть уравнений

(1)

(2)

обозначим через , т.е. .

Тогда уравнения (1) и (2) перепишутся в виде:

Определение. Выражение называется линейным дифференциальным оператором.

Теорема 1. Если и суть частные решения линейного однородного уравнения (2), то их сумма есть также решение этого уравнения.

Доказательство. Проведем доказательство для уравнения третьего порядка (3)

Пусть и решения этого уравнения, тогда , .

Требуется доказать, что функция есть также решение уравнения (3). Ясно, что если , то ; . Поэтому:

Перегруппируем слагаемые:

.

Получим, что . И так как и , то . Значит, функция есть решение уравнения (3).

Теорема доказана.

Аналогично, если являются решениями линейного однородного уравнения (2), то функция есть также решение этого уравнения.

Теорема 2. Если есть решение линейного однородного уравнения (2), С – произвольная постоянная, то функция есть также решение уравнения (2).

Доказательство. Если решение (2), то .

Если предполагаемое решение (2), то , следовательно, действительно решение. Теорема доказана.

Теорема 3. Если суть частные решения линейного однородного уравнения (2), а произвольные постоянные, то функция также решение уравнения (2) (следствие теорем 1 и 2).

10. Линейные зависимые и линейные независимые системы функций

Пусть дана система функций

,

(1)

определенных в некотором интервале .

Определение. Система функций (1) называется линейно зависимой в интервале , если существуют числа не все равные нулю, такие что для всех х из выполняется равенство:

.

(2)

Если равенство (2) для любого выполняется в том случае, когда все коэффициенты равны нулю, то система функций (1) называется линейно независимой в промежутке.

Пример. 1) Рассмотрим систему функций: ; .

Функции определены в . Запишем (2):

.

Положим в качестве чисел , получим:

.

Значит, система функций является линейно зависимой.

2) Запишем систему из функций:

Запишем равенство (2):

это есть алгебраическое уравнение (п)-ой степени, которое имеет п корней. Значит, это равенство может выполняться не более чем при п значениях х, а не при любом х. Следовательно, все коэффициенты должны быть равны нулю. Данная система является линейно зависимой системой функций.

11. Определитель Вронского и его свойства

Пусть дана система функций , определенных в интервале и имеющих в нем все производные до порядка включительно.

Запишем определитель:

.

Определение. Этот определитель называется определителем Вронского данной системы функций (вронскиан).

Очевидно, что вронскиан – это функция от х, т.е. .

Пример. Дано . Составить определитель Вронского.

Решение.

.

Прежде чем говорить о свойствах вронскиана, докажем теорему.

Теорема. Если система функций является линейно зависимой на промежутке , то одну из функций этой системы всегда можно представить линейной комбинацией остальных функций, т.е.

.

Доказательство. Пусть система функций является линейно зависимой, тогда для любого выполняется равенство:

,

где не все .

Пусть , тогда поделив все равенство на , найдем :

.

Мы видим, что линейно выражается через все остальные.

Теорема доказана.