Построение множества комплексных чисел.
Число – одно из фундаментальных понятий математики. Из школьного курса математики нам известны натуральные, целые, рациональные и действительные числа. Давайте вспомним, каким образом в истории математики происходило развитие понятия числа и что способствовало появлению новых числовых множеств на каждом этапе ().
В 16 в встает проблема, которая связана с неразрешимостью на множестве действительных чисел уравнений типа . Таким образом, появляется необходимость в расширении множества так, чтобы в новой числовой системе было разрешимо уравнение указанного типа и сохранялись все свойства операций над действительными числами. Впервые решение этой проблемы предложили итальянские математики Кардано и Бомбелли. Далее мы восстановим их рассуждения.
Рассмотрим множество упорядоченных пар действительных чисел
,
и назовем элементы этого множества комплексными числами. На множестве комплексных чисел зададим операции сложения и умножения:
|
|
и .
Покажем, что построенная числовая система удовлетворяет указанным выше условиям. Во-первых, любое действительное число a можно рассматривать как пару , а значит, множество содержит действительные числа. Во-вторых, , .
Теорема (свойства операций на множестве комплексных чисел)
1. Сложение комплексных чисел коммутативно, ассоциативно.
2. Умножение комплексных чисел коммутативно, ассоциативно, дистрибутивно относительно сложения.
3. Нулем на множестве комплексных чисел является пара .
4. Для каждого комплексного числа есть противоположное число.
5. Единицей на множестве комплексных чисел является пара .
6. Для каждого ненулевого комплексного числа есть обратное число.
7. На множестве комплексных чисел разрешимо уравнение .
Доказательство. 1) Покажем, что сложение на множестве C коммутативно: . Действительно,
.
Покажем, что сложение на множестве C ассоциативно: . Действительно,
2) Коммутативность и ассоциативность умножения докажите самостоятельно. Покажем, что умножение дистрибутивно относительно сложения на множестве комплексных чисел: . Преобразуем левую часть тождества:
. Преобразуем правую часть тождества:
. Легко видеть, что левая и правая части равны.
3) Покажем, что – ноль на множестве комплексных чисел:
.
4) Покажем, что противоположным для комплексного числа является число . Действительно, .
5) Самостоятельно докажите, что .
6) Покажем, что любое комплексное число имеет обратное. Если – число, обратное для , то . Преобразуя последнее равенство, получим систему уравнений с двумя неизвестными: Откуда находим , . Таким образом, – число, обратное для .
|
|
7) Рассмотрим уравнение . На множестве C оно примет вид , , . Получили систему уравнений с двумя неизвестными , решениями которой являются пары и ■
Комплексное число называют мнимой единицей.