2014-01-25
1016
Действия над комплексными числами в алгебраической форме записи.
Алгебраическая форма записи комплексного числа.
Форма записи комплексных чисел, предложенная Кардано и Бомбелли, неудобна для выполнения над ними арифметических операций. В 18 веке Эйлер предложил ввести обозначение: 
, т.е., i – корень уравнения 
на множестве C. Теперь комплексное число 
можно записать в виде 
.
Запись комплексного числа в виде 
называется алгебраической. Число 
называется его действительной частью и обозначается 
, число 
– мнимой частью и обозначается 
.
Очевидно, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части соответственно.
В силу свойств операций над комплексными числами, действия над комплексными числами в алгебраической форме записи можем выполнять так же, как с алгебраическими выражениями. Приведем примеры (найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел).
Определение. Сопряженным для комплексного числа называется число, действительная часть которого равна действительной части данного числа, а мнимая часть противоположна по знаку.
Обозначение: 
.
Теорема (свойства сопряженных комплексных чисел). Пусть 
.
1. 
, 2. 
,если 
, 3. 
,
4. 
, 5. 
, 6. 
, 
.
Доказательство. 1) Пусть 
. Тогда 
и 
.
2) Если , то 
, а значит, 
.
3) Пусть . Тогда и 
.
4) Пусть 
, 
. Тогда 
и 
.
5) Докажите самостоятельно.
6) Докажите самостоятельно ■
Геометрическая иллюстрация комплексных чисел.
