Действия над комплексными числами в алгебраической форме записи.
Алгебраическая форма записи комплексного числа.
Форма записи комплексных чисел, предложенная Кардано и Бомбелли, неудобна для выполнения над ними арифметических операций. В 18 веке Эйлер предложил ввести обозначение: , т.е., i – корень уравнения на множестве C. Теперь комплексное число можно записать в виде .
Запись комплексного числа в виде называется алгебраической. Число называется его действительной частью и обозначается , число – мнимой частью и обозначается .
Очевидно, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части соответственно.
В силу свойств операций над комплексными числами, действия над комплексными числами в алгебраической форме записи можем выполнять так же, как с алгебраическими выражениями. Приведем примеры (найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел).
Определение. Сопряженным для комплексного числа называется число, действительная часть которого равна действительной части данного числа, а мнимая часть противоположна по знаку.
Обозначение: .
Теорема (свойства сопряженных комплексных чисел). Пусть .
1. , 2. ,если , 3. ,
4. , 5. , 6. , .
Доказательство. 1) Пусть . Тогда и .
2) Если , то , а значит, .
3) Пусть . Тогда и .
4) Пусть , . Тогда и .
5) Докажите самостоятельно.
6) Докажите самостоятельно ■
Геометрическая иллюстрация комплексных чисел.