Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Определение. Тригонометрической формой записи комплексного числа называется представление его в виде

,

где , а . Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается , а называется аргументом комплексного числа z и обозначается .

Возникают вопросы. Во-первых, любое ли комплексное число можно представить в тригонометрической форме. Во-вторых, как перейти от алгебраической формы записи к тригонометрической. Ответы на эти вопросы дает следующая теорема.

Теорема (о представлении комплексного числа в тригонометрической форме записи).

Всякое комплексное число можно представить в тригонометрической форме записи. Если , то , а аргумент . Если , то его модуль находится однозначно, а аргумент – с точностью до слагаемого, кратного :

, а задается условиями

Доказательство. Если , то . Здесь , а .

Если , то и . Заметим, что и , а . Следовательно, существует такое, что . Если обозначить , то комплексное число , причем r и удовлетворяют условиям теоремы. Покажем теперь, что модуль комплексного числа находится однозначно, а аргумент – с точностью до слагаемого, кратного . Пусть , где , а . Тогда , откуда откуда . Складывая эти равенства, получим , или . Но так как оба числа положительны, то . Теперь систему можно преобразовать откуда, в силу периодичности косинуса и синуса, делаем вывод, что ■

Примеры. Записать каждое из чисел в тригонометрической форме записи. (Используя формулы перехода)

Далее установим геометрические свойства модуля и аргумента комплексного числа. Для этого сначала обратимся к рассмотренным примерам и изобразим данные комплексные числа на комплексной плоскости.

Итак, модуль ненулевого комплексного числа z есть расстояние от точки z на комплексной плоскости до начала координат, а аргумент – величина угла, образованного лучом Oz и положительным направлением действительной оси.

Примеры. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям: а) , б) , в) , г) .