Аффинное и евклидово точечное пространство

Пока мы определили пространство, состоящее только из векторов. В этом параграфе у нас появятся точки, и будет установлена связь между точками и векторами.

Пусть дано некоторое множество A, элементы которого будем называть точками и обозначать большими буквами A, B, C … и некоторое векторное пространство Lⁿ. Пусть каждой упорядоченной паре точек A, B сопоставлен вектор x (пишем = x) так, что выполнены следующие аксиомы:

А15. " A ÎA и " x Î Lⁿ $! B ÎA такая что = x.

А16. Если = x, = y, то = x + y.

Тогда множество точек A, связанное с Lⁿ называется n - мерным аффинным пространством и обозначается A ⁿ.

Из А15 и А16 вытекают следующие следствия.

1. Каждой паре одинаковых точек сопоставляется нулевой вектор: = o.

Действительно, пусть x =– любой вектор, а y = . Тогда, согласно А16: x + y = Þ x + y = x Þ y = o.

2. Если = x, то =– x.

Действительно, если = y, то согласно А16: = x + y Þ x + y = o Þ y =– x.

Пусть O ÎA ⁿ – произвольная точка, а B ={ e ₁, e ₂,…, e _n } – базис в Lⁿ. Тогда набор R ={ O, e ₁, e ₂,…, e _n } назовем аффинным репером, а точку O – началом координат. Иногда аффинный репер называют также аффинной системой координат.

Пусть P ÎA ⁿ – другая произвольная точка. Тогда вектор назовем радиус-вектором точки P. Разложим этот вектор по базису:

= x ₁ e ₁+ x ₂ e ₂ +…+ x_n e _n.

Тогда набор чисел (x ₁, x ₂,… x_n) называется координатами точки P в данном репере. Пишем P (x ₁, x ₂,… x_n) _R. Если Q (y ₁, y ₂,… y_n) _R – другая точка, то

= y ₁ e ₁+ y ₂ e ₂ +…+ y_n e _n Þ

= – = (y ₁– x ₁) e ₁+ (y ₂ – x ₂) e ₂ +…+ (y_n – x_n) e _n .

Значит,

(y ₁– x ₁, y ₂ – x ₂,…, y_n – x_n). (14)

Таким образом, чтобы найти координаты вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Определение. Аффинное пространство A ⁿ, связанное с евклидовым векторным пространством Eⁿ называется точечным евклидовым пространством. Будем обозначать его E ⁿ.

Определение. Система аксиом А1 – А16 называется системой аксиом Вейля n-мерного точечного евклидова пространства.

Определение. Система координат в точечном евклидовом пространстве называется ортонормированной, если задающий её базис B ={ e ₁, e ₂,…, e _n } является ортонормированным.

Определение. Расстоянием между точками P и Q в точечном евклидовом пространстве называется модуль вектора. Это расстояние обозначим r(P, Q).

Пусть в Eⁿ задана ортонормированная система координат, относительно которой P (x ₁, x ₂,… x_n), Q (y ₁, y ₂,… y_n). Тогда из формул (6) и (14) следует, что расстояние между этими точками вычисляется по формуле

r(P, Q) =.

Можно сказать, что r есть функция, которая сопоставляет двум точкам P, Q ÎE ⁿ число r(P, Q). Отметим, что эта функция обладает следующими свойствами:

1. r(P, Q) = r(Q, P);

2. r(P, Q) + r(Q, R) ³ r(P, R) (неравенство треугольника);

3. r(P, Q) ³ 0, и r(P, Q) = 0 Û P = Q.