double arrow

Краткий обзор геометрии пространства A4

Определение. Пусть даны точка A и вектор a. Прямой проходящей через точку A в направлении вектора a называется множество точек

l = { M | = t a, t Î R }. (15)

Будем говорить, что прямая l задаётся уравнением = t a.

Определение. Пусть даны точка A и два неколлинеарных вектора c и d. Плоскостью, проходящей через точку A в направлении векторов c и d называется множество точек

p = { M | = u c + v d, u, v Î R }. (16)

Будем говорить, что плоскость p задаётся уравнением = u c + v d и обозначать так: p = (A, c, d).

Определение. Пусть даны точка A и три линейно независимых вектора a, b, c. Тогда множество точек

P = { M | = l f +m g + n h, l,m,nÎ R }. (17)

называется гиперплоскостью, проходящей через точку A в направлении векторов f, g, h. Будем говорить, что гиперплоскость задаётся уравнением = l f +m g + n h и обозначать так: P = (A, f, g, h).

Заметим, что каждую прямую можно рассматривать, как одномерное аффинное пространство, плоскость – как двумерное, гиперплоскость – как трехмерное. Например, пусть M 1, M 2ÎP, т.е.

= l1 f +m1 g + n1 h, = l2 f +m2 g + n2 h.

Тогда

= = (l1–l2) f +(m1–m2) g + (n1–n2) h.

Таким образом, каждой паре точек M 1, M 2ÎP соответствует вектор. И этот вектор однозначно раскладывается по трём линейно независимым векторам f, g, h. Значит, f, g, h образуют базис B 1={ f, g, h } в аффинном пространстве P, и (l1–l2, m1–m2, n1–n2) в этом базисе. Четверка R ={ A, f, g, h } образует репер и, например, M 1(l1, m1, n1) R.

Предложение 1. Каковы бы ни были две различные точки A, B существует и, притом, единственная прямая l, проходящая через эти точки.

Действительно, это будет прямая, которая проходит через A в направлении вектора: l = { M | = t, t Î R }. Очевидно, что при t =0 получим точку A, а при t =1 получим точку B. Будем писать l = AB. Доказательство единственности опустим.

В дальнейшем координаты точек, в отличие от координат векторов, будем обозначать большими буквами.

Если A (X 1o, X 2o, X 3o, X 4o), a (a 1, a 1, a 1, a 4), b (b 1, b 1, b 1, b 4), то прямая (15) задается в координатах каноническим уравнением

= = =

или параметрическими уравнениями

X 1= X 1o+ a 1 t,

X 2= X 2o+ a 2 t,

X 3= X 3o+ a 3 t,

X 4= X 4o+ a 4 t.

Плоскость (9) задается параметрическими уравнениями

X 1= X 1o+ ua 1 + vb 1,

X 2= X 2o+ ua 2 + vb 2,

X 3= X 3o+ ua 3 + vb 3,

X 4= X 4o+ ua 4 + vb 4.

Предложение 2. Каковы бы ни были три различные точки A, B, C существует и, притом, единственная плоскость p, проходящая через эти точки.

Действительно, это будет плоскость, которая проходит через A в направлении векторов и, т.е. задающаяся уравнением

= u + v.

Очевидно, что при u =1, v =0 получим точку A, а при u =0, v =1 получим точку B. Доказательство единственности достаточно длинное и мы его опустим.

Предложение 3. Каковы бы ни были четыре различные точки A, B, C существует и, притом, единственная гиперплоскость p, проходящая через эти точки.

Упражнение. Докажите это самостоятельно.

Предложение 4. Если две различные точки A и B принадлежат плоскости p, то все точки прямой AB принадлежат p.

Действительно, зададим плоскость уравнением = u a + v b, где a =. Тогда все точки прямой AB задаются тем же условием при переменном u и v =0.

Предложение 5. Если две различные плоскости a и b имеют две различные общие точки A и B, то все общие точки этих плоскостей лежат на прямой AB.

Действительно, если бы нашлась общая точка C этих плоскостей, не лежащая на прямой AB, то согласно Предложению 2, эти плоскости должны были бы совпасть.

Предложение 6. Если три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, принадлежат некоторой гиперплоскости P, то и вся плоскость p = ABC принадлежит P.

Доказательство аналогично доказательству Предложения 4.

Предложение 7. Если две различные гиперплоскости P1 и P2 имеют общую точку A, то они пересекаются по плоскости (без доказательства).

Предложение 8. Если плоскость p имеет общую точку с гиперплоскостью P, то либо p ÌP, либо они пересекаются по прямой (без доказательства).

Определение. Пусть прямая l задаётся уравнением = t a. Пусть M 1, M 2, M 3 – три точки на прямой l: = t 1 a, = t 2 a, = t 3 a. Говорим, что M 2 лежит между M 1 и M 3, если t 1< t 2< t 3, либо t 3< t 2< t 1.

После этого можно определить, что такое отрезок, луч, треугольник. Можно доказать, что прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Определение. Пусть прямые l 1 и l 2 задаются соответственно уравнениями = t a и = t b. Тогда говорим, что l 1|| l 2, если a || b, и при этом прямые, как множества точек, не совпадают. Пусть плоскость p задаётся уравнением = u c + v d. Тогда говорим, что l 1||p, если вектор a раскладывается через c и d (т.е. a= u 1 c + v 1 d), и при этом прямая l 1 не содержится в плоскости p.

Аналогично определяется параллельность прямой и гиперплоскости.

Определение. Пусть плоскость p задана уравнением = u a + v b, а гиперплоскость P – уравнением = l c +m d + n f. Тогда говорим, что p||P, если векторы a и b раскладываются по базису { c, d, f }, и при этом pËP.

Аналогично определяется параллельность двух гиперплоскостей.

Можно доказать следующие утверждения.

Предложение 9. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Предложение 10. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Предложение 11. Прямая параллельна гиперплоскости тогда и только тогда, когда она её не пересекает. Плоскость параллельна гиперплоскости тогда и только тогда, когда она её не пересекает. Две гиперплоскости параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.

В аффинном пространстве можно рассматривать гиперповерхности второго порядка. Их классификация очень похожа на классификацию поверхностей второго порядка. Отметим только два примера.

Уравнение X 12+ X 22 + X 32 + X 42 = 1 задаёт трёхмерную сферу. Её сечение любой из координатных гиперплоскостей представляет собой обычную двумерную сферу. Уравнение X 12+ X 22 + X 32 X 42 = 1 задёт трёхмерный конус. Его сечение гиперплоскостью OX 1 X 2 X 3представляет собой точку (мнимый конус), а сечение остальными координатными гиперплоскостями – двумерный конус. Сечение гиперплоскостями параллельными OX 1 X 2 X 3представляют собой двумерную сферу.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: