double arrow

Понятие о моментах распределения


Рассмотренные нами две основные характеристики распределения - центр распределения математического ожидания и дисперсии - представляют собой частные случаи моментов распределения , введенных выдающимся русским математиком П.Л. Чебышевым для исследования законов распределения вероятностей.

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс ( статистические моменты, моменты инерции и т.д.)

Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятности для описания основных свойств распределения случайной величины.

На практике чаще всего применяются моменты 2-х видов: начальные и центральные.

1. Начальные моменты – начальным моментом порядка к случайной величины x называется математическое ожидание величины xk.

ak=M[xk]

индекс "к" – указывает порядок момента;

a1=M[x];

a2=M[x2];

D[x]=a2-a12;

Момент дискретной величины вычисляется по формуле

(1)

(2)

2. Центральным моментом порядка к случайной величины х, называется математическое ожидание величины x-M[x].

Мк=М[(Х-М[х])к];

Для первой степени к=1;

М1=М[(Х-М[х])1]=М[х]-М[х]=0;

М2=М[(Х-М[х])2]=D[х];

Также запишем для дискретной




;

;

Центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения:

Cs>0
 
 

0<Cs
Пусть имеем кривую распределения

Перенесем начало координат в точку математического ожидания x, тогда f(x) будет четной функцией относительно М(Х)=0

Из свойств интегралов следует m3=0, аналогично и m5, m7, m9.

Все центральные моменты нечетного порядка равны нулю. Это справедливо для нормального и равномерного распределения, поэтому отличие центральных моментов нечетных порядков от 0 свидетельствует об асимметрии распределения. Размерность в кубе, чтобы иметь безразмерный коэффициент асимметрии, для этого

, Cs – коэффициент асимметрии.

Знак коэффициента указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию. Если коэффициент меньше нуля, то кривая отклоняется влево, если больше нуля то вправо.

4. Центральный момент m4 служит для характеристики сложности кривой распределения по отношению к кривой нормального распределения. Соответствующий безразмерный коэффициент называют эксцессом и определяют по формуле

 
 

Для нормального распределения Е=0. Если <0, то кривая больше сглажена.

Задача.

Дана плотность распределения случайной величины x:

Найти начальный и центральный моменты, асимметрию и эксцесс.

;

Cs=0,

=

Cs==0; D=

-кривая сглаженная.







Сейчас читают про: