Понятие о моментах распределения

Рассмотренные нами две основные характеристики распределения - центр распределения математического ожидания и дисперсии - представляют собой частные случаи моментов распределения, введенных выдающимся русским математиком П.Л. Чебышевым для исследования законов распределения вероятностей.

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статистические моменты, моменты инерции и т.д.)

Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятности для описания основных свойств распределения случайной величины.

На практике чаще всего применяются моменты 2-х видов: начальные и центральные.

1. Начальные моменты – начальным моментом порядка к случайной величины x называется математическое ожидание величины x^k.

a_k=M[x^k]

индекс "к" – указывает порядок момента;

a₁=M[x];

a₂=M[x²];

D[x]=a₂-a₁²;

Момент дискретной величины вычисляется по формуле

(1)

(2)

2. Центральным моментом порядка к случайной величины х, называется математическое ожидание величины x-M[x].

М_к=М[(Х-М[х])^к];

Для первой степени к =1;

М₁=М[(Х-М[х])¹]=М[х]-М[х]= 0;

М₂=М[(Х-М[х])²]=D[х];

Также запишем для дискретной

;

;

Центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения:

Cs>0

0<Cs

Пусть имеем кривую распределения

Перенесем начало координат в точку математического ожидания x, тогда f(x) будет четной функцией относительно М(Х)= 0

Из свойств интегралов следует m₃=0, аналогично и m₅, m₇, m₉.

Все центральные моменты нечетного порядка равны нулю. Это справедливо для нормального и равномерного распределения, поэтому отличие центральных моментов нечетных порядков от 0 свидетельствует об асимметрии распределения. Размерность в кубе, чтобы иметь безразмерный коэффициент асимметрии, для этого

, Cs – коэффициент асимметрии.

Знак коэффициента указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию. Если коэффициент меньше нуля, то кривая отклоняется влево, если больше нуля то вправо.

4. Центральный момент m₄ служит для характеристики сложности кривой распределения по отношению к кривой нормального распределения. Соответствующий безразмерный коэффициент называют эксцессом и определяют по формуле

Для нормального распределения Е =0. Если <0, то кривая больше сглажена.

Задача.

Дана плотность распределения случайной величины x:

Найти начальный и центральный моменты, асимметрию и эксцесс.

;

Cs =0,

=

Cs ==0; D =

-кривая сглаженная.