Знакопостоянные ряды

Рассмотрим ряды с положительными слагаемыми:

(2.1)

(2.2), где

Тогда для них справедливы следующие теоремы:

Теорема 4: Для того, чтобы ряд (2.1) сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм была ограничена.

Доказательство:

Если ряд сходится, то по определению сходящегося ряда существует конечный предел последовательности его частичных сумм: . Но это означает, что . Но это и означает, что последовательность частичных сумм, являясь возрастающей, сверху ограничена своим предельным значением.

Пусть дано, что последовательность частичных сумм ограничена сверху. Но эта последовательность есть возрастающая последовательность (т.к. все ). Тогда по теореме Вейерштрасса она имеет предел: . Т.е. ряд сходится.