Ряды для четных и нечетных функций

При вычислении коэффициентов Фурье на отрезке , симметричном относительно нуля, следует пользоваться свойствами определенного интеграла от четной или нечетной функции. Если функция – четная, а – нечетная, то

; .

В случае четной периодической функции (рис. 3а) имеем: – четная функция, – нечетная функция, поэтому формулы для вычисления коэффициентов Фурье преобразуются к виду:

; , ; , (13)

Таким образом, четная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам, а коэффициент «регулирует» сдвиг графика функции по оси ординат.

В случае нечетной периодической функции (рис. 3б) имеем: – нечетная функция, – четная функция. Применив формулы (32) и (33), получаем:

; , ; , . (14)

Нечетная функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам, а сдвиг графика функции по оси ординат отсутствует .

6.6. Разложение -периодических функций в ряд Фурье

Теорию тригонометрических рядов Фурье для -периодических функций с помощью линейного отображения (замены переменной):

(15)

можно перенести на случай произвольных -периодических функций. При этом -периодической функции соответствует ряд Фурье вида:

, (16)

В силу однозначного соответствия (15) все изложенные выше факты теории рядов Фурье вида (4) можно перенести на ряды вида (16).

Общие формулы коэффициентов тригонометрического такого ряда, имеют вид:

; (17) , ; (18)

, . (19)

Для четной -периодической функции выполняется:

; , ; , (20)

а для нечетной -периодической функции справедливо:

; , ; , (21)