План лекции. Лекция 2. Системы линейных уравнений

Лекция 2. Системы линейных уравнений

2.1. Основные понятия и определения

2.2. Система n линейных уравнений с n переменными. Формулы Крамера

2.3. Теорема Кронекера-Капелли

2.4. Матричный метод. Метод Гаусса

2.5. Общее решение систем линейных алгебраических уравнений

2.6. Системы однородных уравнений

2.1. Oсновные понятия и определения

Определение 1. Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где a_ij (i =, j =)-коэффициенты при переменных, b_i (i =) - свободные члены.

Краткая запись: = b_i (i =) (1)

Определение 2.Решение системы (1) – совокупность n чисел (x₁=k₁, x₂=k₂,...., x_n=k_n), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Определение 3. Система совместна, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместна, если решений нет. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Определение 4. Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если множества их решений совпадают.

С помощью элементарных преобразований можно от исходной системы переходить к равносильной системе. Если ввести обозначения:

А = , X=, B=,

то получаем матричную запись системы (1)

АХ = В (2)

Сформулируем основные задачи, которые возникают при изучении системы (1):

· узнать, является ли система (1) совместной или несовместной;

· если система (1) совместна, то узнать, является ли она определенной;

· если система (1) совместна и определенна, то найти ее единственное решение;

· если система (1) совместна и неопределенна, то описать совокупность всех ее решений.

Эти задачи легко решаются в случае, когда число уравнений системы (1) совпадает с числом неизвестных, т.е. когда m=n.

2.2. Система n линейных уравнений с n переменными.

Формулы Крамера

Если в системе (1) m=n, то х_j = , (j =) (3)

где Δ - определитель системы, Δ _j (j =) определители, полученные из Δ заменой столбца коэффициентов при х_j столбцом свободных членов.

Эти формулы получили название формул Крамера. (Г.Крамер – (1704-1752г.г.) – швейцарский математик).

Если в формулах (3) Δ ≠ 0, то система совместна. Если в формулах (3) Δ = 0, а какое – либо из Δ _j≠ 0, то система несовместна.

Если Δ = Δ ₁ = …= Δ_n = 0, то система неопределенная и имеет бесчисленное множество решений.

Пример. Решить систему уравнений по формулам Крамера.

Решение. Δ = = 10 ≠ 0,

Δ₁ = = 0, Δ₂ = = -40, Δ₃ = = -60.

Отсюда по формулам Крамера получаем: х₁ = = = 0,

х₂ = = = -4, х₃ = = = -6.

2.3. Теорема теорема Кронекера – Капелли

(Кронекер Л. (1823 – 1891г.г.), немецкий математик, Капелли (1858-1916г.г.), итальянский математик).

Пусть дана система линейных уравнений = b_i (i =) (1) Составим расширенную матрицу системы С = .

Теорема Кронекера – Капелли.

Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы r(A) = r(C). Если r(A) = r(C) = n, то система (1) имеет единственное решение. Если же r(A) = r(C) <n, то система (1) имеет бесчисленное множество решений.

Проиллюстрируем применение этой теоремы рядом примеров.