double arrow

Применение степенных рядов


в приближённых вычислениях

Пример 1.Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Задача состоит в вычислении функции ех при . Используем разложение (9) для экспоненты, подставив туда х = 1/2:

.

Отбросив все члены, начиная с (n+1)-го, получим . Погрешность этого приближённого равенства определяется суммой отброшенных членов (его n-го остатка):

.

В квадратных скобках стоит бесконечная сумма членов убывающей геометрической прогрессии, которую можно посчитать по формуле (2):

,

и остаток ряда < .

Найдем такое n, при котором < 0,001, путём подбора:

n = 1: <;

n = 2: <;

n = 3: <;

n = 4: << 0,001.

Итак, если ограничиться первыми пятью членами, то получим ответ:

.

Пример 2.Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Запишем разложение функции в степенной ряд, воспользовавшись формулой (10):

.

По свойству степенных рядов полученный ряд можно интегрировать:

.

Получим сходящийся знакочередующийся ряд, поскольку он удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Согласно следствию из этого признака сумма остатка ряда не превосходит по абсолютной величине первого члена остатка. Поэтому для вычисления с требуемой точностью нужно найти член ряда, который меньше заданной точности и, начиная с него, отбросить все остальные члены ряда. Третий член полученного ряда < 0,001, и поэтому для вычисления с требуемой точностью достаточно взять первые два члена ряда:




.

Пример 3.Найти четыре первых члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

Решение. Пусть искомое решение в окрестности т. х = 0 разложено в ряд Маклорена:

Найдем коэффициенты ряда:

1) = 1 (по условию задачи);

2) ;

3) найдём, дифференцируя данное уравнение:

=, ;

4) Продифференцируем :

.

Получим искомое частное решение данного уравнения: .

Пример 4. Найти четыре первых члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям: .

Решение. Это уравнение линейное относительно у. Поэтому его можно решать и по-другому. Запишем решение не в виде ряда Маклорена, а как обычный степенной ряд, т.е. . Здесь пока неизвестно, сколько слагаемых нужно написать, поскольку некоторые коэффициенты могут оказаться равными нулю. Поэтому выпишем члены разложения вплоть до третьей степени х.

Найдём две первые производные:

;

.

Подставим получившиеся ряды в исходное уравнение, используя формулу (9), в которой х заменим на -х:

Þ

.

А далее поступаем как всегда, т.е. приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева, но предварительно используя начальные условия:

.

Это будут «затравочные» коэффициенты, используя которые мы вычислим все остальные. В результате получим систему уравнений



.

Окончательный ответ таков:

.

Оказалось, что первоначально мы взяли лишний член ряда с х3.







Сейчас читают про: