Моделирование сезонных и циклических колебаний

Моделирование тенденций временного ряда (аналитическое выравнивание временного ряда)

Понятие, классификация и характеристика временных рядов.

Учебные вопросы

ПЛАН

Москва

и

1. Понятие, классификация и характеристика временных рядов.

2. Свойства стационарных временных рядов. Белый шум.

3. Алгоритмический и аналитический подходы к моделированию систематической составляющей временного ряда.

4. Моделирование тенденции временного ряда на основе аналитического выравнивания.

5. Моделирование сезонных и циклических колебаний с помощью методов сезонной корректировки (методы классической декомпозиции).

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

– факторы, формирующие тенденцию ряда;

– факторы, формирующие циклические колебания ряда;

– случайные факторы.

При различных сочетаниях этих факторов в изучаемом процессе или явлении зависимость уровней ряда от времени может быть различной. Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель, однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, т.к. экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (цены на сельхозпродукцию летом ниже, чем зимой; уровень безработицы в курортных городах зимой выще, чем летом). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой бизнес-цикла, в которой находится экономика страны.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты.

Очевидно, что реальные данные содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда.

Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

Последовательность значений X(t) представляет собой значения случайной величины Х(t), а семейство таких случайных величин представляет собой случайный процесс.

Основными характеристиками случайного процесса являются:

математическое ожидание;

дисперсия;

автокорреляционная функция.

В каждый момент времени t случайный процесс может иметь ряд значений, образующих вектор значений процесса Х(t)

(1)

где k – число реализаций этого процесса.

Вектор X(t ) называется сечением процесса X(t) в момент времени t. Сечение процесса – случайная величина.

Математическое ожидание процесса есть неслучайная функция

(2)

Дисперсией случайного процесса называют неслучайную функцию

D_x(t) = M[X(t) – m_x(t)] ² (3)

Автокорреляционная функция (АКФ)

АКФ является коэффициентом корреляции между двумя сечениями процесса Х(t₁) и Х(t₂). Поэтому |r(t₁,t₂)| ≤ 1, причем r(t₁,t₁) = r(t₂,t₂) = 1.

Случайные процессы делятся на стационарные и нестационарные. Для стационарного процесса математическое ожидание и дисперсия должны быть постоянными величинами, а АКФ должна зависеть только от расстояния между значениями аргументов t₁ и t₂, а не от места расположения этих значений.

Чтобы найти АКФ, вычисляют коэффициенты корреляции r_i между рядами Х(t); t = i, i+1,…, n и X(t-i); t = 1, 2, …, n-i.

Значения r_i, нанесенные на плоскость с осями i и r исоединенные ломаной, называют коррелограммой.

Запишем рабочую формулу для расчета r_i.

Пусть

тогда

После упрощений получаем

В случае запаздывания на l шагов по времени имеем

Заметим, что с увеличением запаздывания l объем выборки, по которой вычисляется r_l, уменьшается и равен n – l. При небольших n это приведет к тому, что лишь большие по абсолютной величине значения r_l будут значимыми (например, при n =12 и уровне значимости α = 0,05 только r₁ > 0,576 оказывается значимым). Поэтому запаздывания l берут такими, чтобы

n – l было достаточно велико для вычисления значимых r_l. На практике обычно берут l ≤ n/4.

После вычисления r_l чертится коррелограмма и проводится ее анализ. Интерпретация коррелограмм требует определенного навыка и не всегда легко осуществима.

Для полностью случайного ряда (белого шума) наблюдаются незначимые, малые значения r_l, близкие к нулю.

АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Коэффициент корреляции имеет вид:

можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями у_t и y _t-1 и определяется по формуле:

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

• линейный тренд:

• гипербола:,

• экспоненциальный тренд:

• тренд в форме степенной функции:

• парабола второго и более высоких порядков:

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t=1,2,..., n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда y_t. Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни у_t и у_t-1 тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации R² и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации.

Наиболее простой подход к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания, – расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

Y = T + S + E.

Общий вид мультипликативной модели:

Y = T · S · E.

Здесь Y – уровень временного ряда;

Т – трендовая составляющая;

S – сезонная составляющая;

Е – случайная составляющая.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если же амплитуда возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение обеих моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты S.

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Т + Е) или (Т·Е).

4. Аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или (Т·Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений (Т + S) или (Т·S).

6. Расчет абсолютных или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.