Сходимость и расходимость числового ряда

Пусть дан числовой ряд: (2)

В определении ряда сказано, что это символ. Однако этот символ имеет реальный смысл. Он имеет (правда не всегда) конкретное числовое значение. Обозначим через через сумму двух первых членов ряда (2), т.е. через и т.д.,

Число называется первой частичной суммой ряда (2), число второй частичной суммой ряда (2), число -ой частичной суммой ряда (2).

Запишем последовательность частичных сумм Это числовая последовательность, так как при любом п - есть действительное число, но тогда могут представиться три случая:

1) последовательность частичных сумм ряда (2) имеет конечный предел;

2) последовательность частичных сумм ряда (2) имеет бесконечный предел;

3) последовательность частичных сумм ряда (2) не имеет предела.

Определение 1. Числовой ряд

называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел.

Определение 2. Числовой ряд

называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет бесконечный предел или не имеет предела.