Вектора по скалярному аргументу всегда направлена по касательной к годографу этого вектора

2.4. Основные правила дифференцирования вектор-функций.

1. Если – постоянный вектор, то .

2. Производная суммы вектор-функций равна сумме производных слагаемых

.

3. Пусть вектор-функция умножается на скалярную функцию того же скалярного аргумента. Тогда

.

4. Производные скалярного и векторного произведения вектор-функций соответственно определяются выражениями:

Пусть вектор-функция задана в неподвижной прямоугольной системе координат; тогда

,

где – проекции вектор-функции на оси (рис. 2.2). Так как векторы постоянные, то

.

С другой стороны, вектор можно записать через его проекции следующим образом:

.

Сравнивая оба выражения, найдем проекции производной вектора на координатные оси

, , .

Следовательно, проекции производной вектора на неподвижные оси равны производным от соответствующих проекций вектора.

Модуль производной определяется из равенства

.

Если модуль вектор-функции остается постоянным при изменении аргумента , то годографом вектор-функции будет кривая, расположенная на сфере радиуса а. Следовательно, производная , направленная по касательной к годографу вектор-функции , будет в этом случае перпендикулярна вектору .

2.5. Интегрирование вектор-функции скалярного аргумента.

Вектор-функция называется первообразной функцией для вектор-функции при , если дифференцируема и

, .

Неопределенным интегралом от вектор-функции скалярного аргумента называется совокупность всех первообразных для

,

где – какая-нибудь из первообразных для ;

– произвольный постоянный вектор.

Для интегралов от вектор-функций справедливы следующие свойства

1. , .

2. .