Скорость точки. Движение точки по отношению к избранной системе отсчета считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой

Способы задания движения

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Движение точки по отношению к избранной системе отсчета считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени. Существуют три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

3.1.1. Векторный способ. Положение точки М, движущейся по отношению к системе отсчета Oxyz, можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из начала координат О в точку М, т.е. (рис. 3.1).

При движении точки М вектор

будет с течением времени изменяться по модулю и по направлению, т.е. он будет вектор-функцией, зависящей от аргумента

. (3.1) Уравнение (3.1) определяет закон движения материальной точки в векторной форме. Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно

Рис. 3.1.

данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траекторией точки является прямая линия, движение точки называется прямолинейным, а если кривая – криволинейным.

При векторном способе задания движения траектория точки представляет собой годограф радиуса-вектора .

Введением радиуса-вектора, определяющего положение точки, мы не связываем себя с конкретной системой координат, что позволяет широко использовать задание радиуса-вектора как функции времени для получения основных кинематических характеристик движения. Для решения же конкретных задач обычно переходят от векторного способа к координатному и естественному способам задания движения.

3.1.2. Координатный способ задания движения заключается в представлении координат точки в виде известных, непрерывных, дважды дифференцируемых функций времени. Выбор конкретной системы координат определяется содержанием решаемой задачи. Предпочтительнее та система координат, использование которой наиболее целесообразно для данной задачи.

В прямоугольной декартовой системе координаты точки М (рис. 3.1) задаются как известные функции времени, т.е.

, , . (3.2)

Уравнения (3.2) движения точки представляют одновременно и уравнения траектории в параметрической форме, где роль параметра играет время . Если требуется определить уравнение траектории в координатной форме, то нужно исключить каким-либо образом из этих уравнений время .

Во многих случаях бывает предпочтительнее использовать цилиндрические или сферические координаты.

В цилиндрических координатах (рис. 3.2 а) положение точки определяется радиусом , углом (азимут) и аппликатой . Следовательно, движение будет задано, если , , и z будут известными функциями времени

, , . (3.3)

Рис. 3.2.

В сферических координатах (рис. 3.2 б) положение точки определяется полярным радиусом , углом и углом (полюсный угол). Движение будет задано, если

, , (3.4)

– известные функции времени.

Формулы, связывающие цилиндрические и сферические координаты с декартовыми, соответственно будут

, , ;

, , .

При движении точки в плоскости иногда целесообразно использовать полярные координаты. В этом случае нужно задать в виде функций времени координаты

(рис. 3.3):

Рис. 3.3.

Связь этих координат с декартовыми дается формулами

, .

3.1.3. Естественный способ. При естественном способе задания движения указываются (рис. 3.4):

· траектория точки;

· закон движения точки по траектории

; (3.5)

· начало отсчета (точка М₀ на рис. 3.4);

· направление положительного отсчета дуги по траектории.

Рис. 3.4.

Если движение происходит в сторону возрастания дуги

, то дифференциал дуги

, если же движение происходит в сторону убывания дуги, то дифференциал дуги будет

Путь s, проходимый точкой, всегда будет возрастать и, следовательно, положителен, т. е.

Естественным способом задания движения удобно пользоваться, когда траектория точки заранее известна.

Все рассмотренные способы задания движения взаимосвязаны.

Рис. 3.5.

Пусть, например, движение задано координатным способом в виде (3.2). Очевидно, что при этом проекции радиуса-вектора

(рис. 3.5) на оси координат равны координатам точки М и, следовательно, можно записать

. (3.6) Модуль

найдется по формуле

, (3.7)

а направление определится направляющими косинусами

, , . (3.8)

Рис. 3.6.

От задания движения в декартовых координатах можно перейти к его заданию естественным способом. Закон движения точки по траектории в дифференциальной форме выражается через декартовы координаты в виде (рис. 3.6)

Интегрируя это выражение в промежутке от (начало движения) до какого-либо момента времени , получим закон движения

Знак «плюс» или «минус» перед интегралом ставится в зависимости от выбора направления положительного отсчета дуги; если движение точки начинается в сторону выбранного положительного отсчета дуги, то следует брать знак «плюс», в противном случае – знак «минус».

Пусть в момент времени положение точки определяется радиусом-вектором , а в момент радиусом-вектором . Вектор

будем называть вектором перемещения точки за время (рис. 3.7).

Рис. 3.7.

Отношение вектора

к промежутку времени М называется средней скоростью точки за промежуток времени

. Скоростью в данный момент времени называется предел отношения вектора

перемещения точки к промежутку времени, за который произошло это перемещение, когда этот промежуток времени стремится к нулю, т.е.

. (3.9)

Из этого определения видно, что скорость точки равна производной радиуса-вектора точки по времени. На рис. 3.7 показаны средняя скорость и скорость точки М. Как следует из общей теории, скорость точки – этор вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения точки.