Кинематика материальной точки

Криволинейное движение точки (самостоятельно).

[1] Переход к пределу при ограничен такими промежутками времени, при которых тело проходит расстояния, соизмеримые с размерами атомов или молекул. Другими словами, понятие производной в физике отличается от соответствующего понятия в математике, где дробление пространства на все меньшие и меньшие участки в принципе возможно до бесконечности.

В физике для исследования какого-либо явления необходимо иметь объект исследования и приборы.

1. Допустим, что мы имеем линейку единичной длины и часы. Под часами подразумевается некоторый процесс, с которым сравнивается исследуемый процесс.

2. Мы живем в обычном Евклидовом пространстве (для него справедливы законы классической геометрии).

3. Длина линейки и скорость процесса (т.е. показания часов) не зависят ни от чего. Они абсолютны.

4. Объект исследования – материальная точка. Одну определить невозможно, поэтому для примера рассмотрим две материальные точки. Совокупность объектов назовём системой. Приложим к ней линейку и померим размеры.

Рис. 1.

Материальной точкой называется объект, характерные размеры которого много меньше характерных размеров системы.

Из множества тел системы выберем одно произвольное. Это тело называется телом отсчета. На теле отсчета или рядом выберем точку. Её называют точкой отсчёта. Проведем три прямые, пересекающиеся в этой точке, сориентируем их, расставим стрелки, с помощью метра разделим на равные части, назовем стрелки, присовокупим часы. Введённая система координат с часами называется системой отсчета. Рассмотрим материальную точку А как точку в пространстве относительно других тел (системы отсчёта). Для определения местоположения надо из точки О провести стрелку к точке А. Назовем эту стрелку радиус-вектором. Снимем показания часов.

Имеем два параметра:(; t).

Прямолинейное движение материальной точки.

Если радиус-вектор материальной точки изменяется со временем, то точка движется, т.е. . Геометрическое место точек концов - траектория движения материальной точки. Рассмотрим случай, когда траектория – прямая линия.

Рис.2.

Систему отсчёта можно выбирать по-разному, но целесообразнее вводить систему координат следующим образом:

1) точку отсчета брать на траектории;

2) ось x выбирать по направлению движения;

Рассмотрим движение точки за какой-либо промежуток времени t₁ и t_2.

Имеем два положения точки. Построим график изменения координаты x от времени.

Рис. 3.

Моменту времени t₁ соответствует координата x₁, моменту времени t₂ – x₂.

x₂- x₁=Δx – число, показывающее на сколько изменилась координата x за время от t₁ до t_2, или перемещение материальной точки за интервал времени [t₁ ; t₂]. Перемещение может быть любого знака, может быть равным 0.

Δt = t₂ - t₁ всегда положительно в классической кинематике.

- средняя скорость материальной точки за промежуток времени (t₁ , t₂). Эта величина не зависит от того, как двигалось тело. Важно начальное и конечное положения материальной точки. Если материальная точка вернулась в начальное

положение, то средняя скорость равна 0.

Будем уменьшать t₂ (t₂→ t₁) до бесконечности. Получим

или - мгновенная скорость материальной точки в момент времени t_1. Это абстрактная величина, её нельзя измерить, можно только вычислить.

Рис.4.

Итак, имеем два момента t₁ и t_2. Моменту времени t₁ соответствует скорость v_1x, моменту времени t₂ соответствует скорость v_2x.

Δv_x = v_2x - v_1x

- среднее ускорение материальной точки на интервале времени (t_1, t₂).

- мгновенное ускорение материальной точки в момент времени t_1.

Движение материальной точки с нулевым ускорением называется равномерным движением.

Движение материальной точки с постоянным ускорением называется равнопеременным движением.

Движение, в процессе которого ускорение меняется, называется движением общего вида.

Зная функцию координаты от времени, можно найти функцию v_x от времени и функцию α_x(t).

Обратная задача кинематики.

Пусть известна функция v_x(t). Надо найти x(t).

Для этого нужно знать, в какой точке находится материальная точка. Пусть в момент времени t₁ материальная точка находится в позиции x_1, т.е. моменту времени t соответствует координата x_1. Разобьем задачу на маленькие кусочки по времени.

Рис. 5.

Будем считать, что на каждом куске материальная точка движется равномерно. Получим некоторую ступенчатую функцию.

Для равномерного движения изменение координаты выглядит следующим образом:

x=v*t

Изменение координаты – площадь под графиком скорости.

Координата точки в любой момент времени:

Для скорости, рассуждая аналогично, получаем:

Допустим, надо найти, сколько прошло тело, т.е. длину пути.

Как известно, перемещение имеет знак.

Пусть x₁ - начало движения, куда движется тело не важно, но скорость должна быть неотрицательна, откуда началось движение неважно.