Термодинамика атмосферы

10 11 12 13 14 15 16

Рис.43

Рис.42

Рис.41

Рис.40

Рис.39

Рис.38

Рис.37

Центры тяжести некоторых однородных тел.

1) Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 37).

Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L - длина дуги АВ, равная . Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

где угол измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади треугольника. Разобьем площадь треугольника ABD (рис. 38) прямыми, параллельными AD, на узкие полоски; центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане BE треугольника.

Следовательно, и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане. Аналогичный результат получается для двух других медиан. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан.

При этом, как известно,

3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом (рис. 39). Разобьем мысленно площадь сектора ОАВ радиусами, проведенными из центра О, на п секторов. В пределе, при неограниченном увеличении числа , эти секторы можно рассматривать как плоские треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге DE радиуса . Следовательно, центр тяжести сектора ОAB будет совпадать с центром тяжести дуги DE. Окончательно получим, что центр тяжести площади кругового сектора лежит на его центральной оси симметрии на расстоянии от начального центра О, равном

Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 40.

Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:

Объёмы их: .

Поэтому координаты центра тяжести тела

Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.41).

Координаты центров тяжести:

Площади:

Поэтому:

Рис. 6.5.

Пример 3. У квадратного листа см вырезано квадратное отверстие см (рис.42). Найдем центр тяжести листа.

В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:

координата так как тело имеет ось симметрии (диагональ).

Пример 4. Проволочная скобка (рис.43) состоит из трёх участков одинаковой длины l.

Координаты центров тяжести участков: , ; , Поэтому координаты центра тяжести всей скобки:

3. 1. Первое начало термодинамики применительно к атмосфере

Краткой формулировкой первого начала является следующая: невозможно возникновение или уничтожение энергии, возможен лишь переход одних видов энергии в другие. Количественно это положение выражается в виде уравнения первого начала термодинамики или уравнения притока тепла. Установим вид этого уравнения для идеального газа, к которому близки сухой и влажный ненасыщенный воздух. С этой целью выделим в атмосфере частицу сухого воздуха единичной массы. Рассмотрим изменение параметров состояния воздушной частицы под влиянием притока тепла. Обозначим через p_i, r_i, T_i параметры состояния воздушной частицы, через p_e, r_e, T_e параметры состояния окружающего частицу воздуха (атмосферы). Вместо плотности можно ввести удельный объем u =1/ r.

В общем случае r_i ¹ r_e и T_i ¹ T_e, но в физике атмосферы всегда полагают p_i₌ p_e₌p, т.е. давление внутри частицы равно давлению в окружающем ее воздухе (квазистатическое условие).

Сообщим воздушной частице некоторое количество тепла. При этом внутренняя энергия u_i воздушной частицы увеличится на du_i, и одновременно частица, расширяясь, совершит некоторую работу против внешних сил давления dw_i. Тогда в соответствии с первым началом термодинамики

Определим отдельно du_i и dw_i. Сухой и влажный ненасыщенный воздух можно рассматривать как идеальный газ, поэтому

(здесь c_u - удельная теплоемкость при постоянном объеме). Работу расширения можно представить в виде

где du_i -приращение объема (в случае единицы массы – приращение удельного объема).

С учетом двух последних соотношений уравнение первого начала термодинамики для воздуха, рассматриваемого как идеальный газ, принимает вид

. (1)

Преобразуем его к такому виду, чтобы в правую часть входили только лишь измеряемые величины. Для этого воспользуемся уравнением состояния воздуха

, (2)

из которого следует:

Подставив в уравнение (2), получим:

(3)

Рассмотрим частный случай, а именно изобарический процесс. Так как в этом случае p=const, а dp =0, то уравнение (3) принимает вид

С другой стороны, при изобарическом процессе (с_р – удельная теплоемкость при постоянном давлении). Таким образом,

(4)

Соотношение (4) носит название уравнения Майера.

Для сухого воздуха с_u = 818 Дж/(кг·К), с_р = 1006 Дж/(кг·К), с_р- с_u= 288 Дж/(кг·К), с_р/с_u=k= 1.40.

Величину подставим в уравнение(3). Тогда с учетом (2) получим уравнение первого начала термодинамики в виде, наиболее часто используемом в метеорологии: