Закон целых чисел (закон рациональности параметров). Метод кристаллографического индицирования

 

Полное описание геометрического многогранника путем перечисления элементов симметрии и простых форм не всегда позволяет его полностью охарактеризовать. В качестве примера укажем, что три простые формы кубической сингонии куб, октаэдр и ромбододекаэдр описываются одной и той же формулой симметрии 3L₄4L₃6L₂9РС. Хотя все три фигуры имеют одинаковый набор элементов симметрии, грани каждой из них отличаются ориентацией в пространстве. Можно привести и другие примеры.

Отсюда следует, что для полного описания кристалла необходимо указать взаимное пространственное положение его граней. В теории симметрии с этой целью выбирается исходная грань. Пространственная ориентация всех других граней кристалла указывается кристаллографическими символами относительно координатных осей и исходной грани, которую принимаем за единичную.   

Покажем как это сделать на практике. Выберем в кристалле три непараллельных ребра, пересекающихся в общей точке О и примем их за оси координат, а за единицы измерения по этим осям ¾ отрезки. Затем выберем какую-либо грань кристалла, пересекающую все три оси и примем ее единичную. Выбранные непараллельные направления в кристалле, называются кристаллографическими осями. Выбор кристаллографических осей и единичной грани (масштабных отрезков по осям) называется установкой кристалла.

Пусть “единичная ” грань отсекает на осях координат отрезки ОА, ОВ, ОС (рис. 1.1). Возьмем в этом же многограннике другую грань А'B'C', не параллельную АВС и пересекающую все три ребра. Отрезки, отсекаемые гранями на ребрах, называются параметрами. Параметрами грани АВС служат отрезки ОА, ОВ, ОС, а параметрами грани А'B'C соответственно отрезки ОА', ОB' и О C'. Если разделить параметры одной грани на параметры другой, то получим отношения называемые двойными. При этом:

 

Рис. 1.1. К пояснению закона целых чисел

 

для любых двух граней реального кристалла двойные отношения параметров равны отношениям целых и сравнительно малых чисел, т.е.

OA'/OA: OB'/OB: OC'/OC = p: q: r,      (1.1)

где p, q, r ¾ целые, взаимно простые и малые числа.

Эта закономерность известна, как  закон целых чисел, закон рациональных отношений или по имени его первооткрывателя закон Гаюи. Закон был сформулирован французским кристаллографом Ренэ Жюстом Гаюи задолго до создания теории пространственной решетки. В нем с замечательной интуицией были подмечены закономерности кристаллической структуры: ребра кристалла соответствуют рядам пространственной решетки, а грани ¾ плоским сеткам. На законе целых чисел основан метод кристаллографического индицирования. Он удобен для всех кристаллографических систем координат и позволяет сделать описание узлов, ребер и граней кристалла с помощью индексов.

Если один из узлов решетки выбрать за начало координат, то любой другой узел решетки определяется радиусом-вектором R = m a + n b + p c, где m, n, p ¾ целые числа, называемые индексами определяемогоузла. Совокупность чисел m, n, p, записанная в двойных квадратных скобках [[mnp]], называется символом узла. На рис. 1.2. показаны символы вершин, центров граней и центра элементарной ячейки, если одна из вершин ячейки принята за начало координат.

 

Рис. 1.2. Символы узлов в кубической ячейке

 

Ряды пространственной решетки и ребра кристаллического многогранника по отношению к осям системы координат образуют разные углы. Их пространственная ориентация указывается следующим образом. Если ряд не проходит через начало координат, мысленно производим его параллельный перенос до пересечения с нулевой координатной точкой. Направление ряда задается вектором из начала координат до любого узла этого ряда. Символ ближайшего к началу координат узла принимают за символ этого ряда (ребра) и записывается в квадратных скобках, например ¾ [mnp]. Символы некоторых направлений в плоской сетке показаны на рис. 1.3.

 

Рис. 1.3. Символы направлений в плоской сетке

 

В кристаллографии пространственную ориентацию плоскостей геометрического многогранника принято охарактеризовывать не параметрами этих плоскостей p, q, r, а обратными к ним величинами, приведенным к целым числам. Эти величины называются индексами Миллера (hkl). 

1/p: 1/q: 1/r = h: k: l   (1.2)

Индексы, написанные подряд без пробелов и заключенные в круглые скобки (hkl) называют символом плоскости (грани). Символ грани А'B'C' (рис. 1.1) записывается тремя целыми простыми числами, представляющими собой отношения трех дробей, числители которых являются параметры единичной грани (ОА, ОВ, ОС), а знаменателями ¾ параметры определяемой грани (ОА', ОВ', ОС'). Символом (hkl) характеризуется вся совокупность параллельных плоскостей. Этот символ означает, что система параллельных плоскостей рассекает элементарные трансляции a, b, c на h, k, l частей, соответственно.

 На рис. 1.4. приведены символы некоторых плоскостей в кубической решетке.

 

Рис. 1.4. Символы некоторых плоскостей в кубической ячейке

 

Число узлов на единицу площади называют ретикулярной плотностью. Плоскости с малыми индексами имеют большую ретикулярную плотность и большие межплоскостные расстояния. Именно эти грани чаще всего встречаются в реальных кристаллах (закон Бравэ).