Единичные направления

Единственное, не повторяющееся в кристаллическом многограннике направление называется особым или единичным. Например, в снежинках или иголочках инея, в шестигранном карандаше, в шестигранной пирамиде или призме единичным направлением является поворотная ось симметрии шестого порядка L₆, в четырехгранной призме или пирамиде ¾ ось L₄. Эти оси нельзя повторить никакими другими операциями симметрии, свойственными этим многогранникам. В одной геометрической фигуре могут быть одновременно несколько единичных направлений, совпадающих с осями одного и того же порядка. Например, в геометрической фигуре, имеющей форму кирпичика все три двойные оси являются единичными направлениями. Геометрически каждая из них отличается от двух других. Одна двойная ось проходит через торцы фигуры, другая через середины верхней и нижней граней, третья ¾ через середины боковых граней.

В противоположность единичным направлениям, в кристаллах наблюдаются повторяющиеся направления, связанные элементами симметрии. В кубе любое направление повторяется несколько раз: тройная ось встречается четырежды, четверная ¾ трижды, двойная ¾ шесть раз и каждая из них может совместиться с другой такой же осью, например, путем отражения в плоскости симметрии.

Повторяющиеся в кристалле направления, связанные элементами симметрии, называются симметрично повторяющимися или симметрично эквивалентными.

Тридцать два вида симметрии кристаллов

Историческая справка

Полная совокупность его элементов симметрии кристаллического многогранника называется его видом или классом симметрии.

Теоремы о сочетании элементов симметрии позволяют аналитически вывести все их различные сочетания, возможные в идеальных кристаллических многогранниках. Первый вывод всех совокупностей элементов симметрии для конечных фигур выполнил в 1830 году марбургский кристаллограф И Гессель. К сожалению, как это нередко случается в науке, его труд долгое время оставался незамеченным. Не был с ним знаком и русский академик А.В. Гадолин, который в 1867 году заново вывел все 32 вида симметрии. Его вывод отличался простотой и оригинальностью и быстро заслужил признание во всем мире. С тех пор тридцать два вида симметрии служат надежной теоретической основой для геометрической кристаллографии и послужили толчком для ее дальнейшего развития. Известный советский кристаллограф И.И. Шафрановский так определил их место в кристаллолграфической науке: «… таблица 32 кристаллографических классов, дающая основу для всеобъемлющих симметрийных выводов, должна занять надлежащее место в современной науке наряду с Периодической таблицей элементов Д.И. Менделеева».

Продемонстрируем как можно самостоятельно повторить вывод 32 групп симметрии. Этот вывод проделаем отдельно для геометрических многранников, имеющих единичные направления и без них.