Распределение Стьюдента (t – распределение)

При большом числе единиц выборочной совокупности (n >100) распределение случайных ошибок выборочной средней или нормальное, или приближается к нормальному по мере увеличения числа наблюдений. Однако на практике часто приходится сталкиваться с малыми выборками, объем которых не превышает 30 единиц и может доходить до 4-5 единиц. Разработана теория малой выборки, согласно которой расхождение между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения, получивший название распределения Стьюдента. Для определения возможных пределов ошибки пользуются так называемым t -критерием (критерием Стьюдента), вычисляемым по формуле

,                                               (2.9)

где  - генеральная средняя;

 - выборочная средняя;

 - мера случайных колебаний выборочной средней в малой выборке.

Величина  определяется так

,                                         (2.10)

где величина  вычисляется на основе данных выборочного наблюдения

.                                (2.11)

Предельная ошибка малой выборки .

В Excel для расчета распределения Стьюдента используется функция СТЬЮДРАСП. Эта функция возвращает процентные точки (вероятность) для t-распределения Стьюдента. Синтаксис функции следующий

СТЬЮДРАСП(x; степени_свободы; хвосты)

где x — это значение, для которого должны быть вычислены вероятности;

степени_свободы - указывает число степеней свободы;

хвосты - это число возвращаемых хвостов распределения. Если хвосты = 1, то функция СТЬЮДРАСП возвращает одностороннее распределение. Если хвосты = 2, то функция СТЬЮДРАСП возвращает двухстороннее распределение.

Пример 2.6. При контрольной проверке качества поставляемого в торговлю маргарина получены данные о содержании консерванта Е205 в 10 пробах. Какова вероятность того, что среднее содержание консерванта Е205 во всей партии не выйдет за пределы =0,1% его среднего содержания в представленных пробах?

Исходные данные и решение приведены в таблицах 2.9 и 2.10.

Таблица 2.9

Таблица 2.10

Пояснения к вычислениям.

Для расчета  используется функция СРЗНАЧ.

Значения ,  и t вычисляются по формулам (2.9)-(2.11).

Для расчета вероятности того, что среднее содержание консерванта Е205 во всей партии не выйдет за пределы =0,1% его среднего содержания в представленных пробах, использована функция СТЬЮДРАСП. Поскольку она оценивает вероятность расхождения, а нас интересует вероятность нахождения внутри заданных пределов, расчетное значение вычитается из единицы; в итоге функция нахождения искомой вероятности имеет вид:

=1-СТЬЮДРАСП(t; n -1; 2),

где n =10, это количество исследуемых проб.

Полученный результат γ=0,72 говорит о том, что на основании проведенного выборочного контроля качества продукции можно сделать заключение, что среднее содержание консерванта Е205 во всей партии будет находится в пределах от 4,0 до 4,2% с уровнем надежности 72%. Если уровень надежности не устраивает, то можно или увеличить количество проб, или увеличить величину отклонения . Так если принять =0,2%, то получим γ=0,95. Т.е с вероятностью 95% во всей партии маргарина содержание консерванта Е205 находится в пределах (4,1±0,2)%, или от 3,9% до 4,3%.