Рівняння моментів для плоского руху. Вивести рівняння і проаналізувати його

     IV. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

     Повна енергія ізольованої системи, в якій діють тільки пружні сили, сила всесвітнього тяжіння і сили електростатичного поля, створеного нерухомим електричним зарядом, є величина стала. Це - закон збереження енергії в механіці, який для розглядуваного випадку (сила тертя відсутні) безпосередньо випливає з другого і третього законів Ньютона:

E = E _k + E _п = const.                                         (12.1)

При переході системи із стану 1 в який-небудь інший стан 2

,                                           (12.2)

тобто зміна повної енергії системи при переході з одного стану в інший дорівнює роботі, що виконується при цьому зовнішніми силами. Це більш загальне формулювання закону збереження енергії в механіці.

     Розглянемо рух тіла, закріпленого на нерухомій осі, навколо якої воно може вільно обертатися. Як і для системи матеріальних точок, в цьому випадку справедливе рівняння моментів

,                                       (12.3)

де  - момент імпульсу тіла, а  - момент зовнішньої сили  відносно осі обертання. У розглянутому випадку обертання навколо нерухомої осі момент імпульсу записується:

,                (12.4)

де  - величина, яка є мірою інертності твердого тіла при обертанні, залежить від розподілу маси відносно осі і називається моментом інерції тіла відносно вибраної осі.

     Кінетичну енергію тіла, що обертається навколо закріпленої осі, також зручно подати за допомогою моменту інерції:

,                     (12.5)

v_i - лінійна швидкість елемента тіла масою D m_i.

     Найпростішим випадком руху тіла, яке не має закріплених точок, є випадок плоского руху: це такий рух, при якому траєкторії всіх точок тіла лежать в паралельних площинах. Прикладами плоского руху може бути кочення циліндра по похилій площині або рух маятника Максвела.

     У загальному випадку рух центра мас твердого тіла визначається за формулою:

,                                         (12.6)

де - швидкість центра мас тіла,  - зовнішні сили, що діють на тіло. Щоб повністю визначити рух тіла, треба, крім рівняння (12.6), написати рівняння моментів відносно осі, що проходить через центр мас. Для випадку плоского руху за вісь обертання треба вибрати вісь, що проходить через центр мас тіла і перпендикулярна до площини, в якій рухаються точки тіла. Оскільки вона нерухома відносно тіла, то можна записати вираз для моменту імпульсу відносно цієї осі у вигляді . Тоді рівняння моментів (12.3) записується у вигляді:

.

     V. МЕТОДИКА ЕКСПЕРИМЕНТУ

     Застосуємо знайдене рівняння до руху маятника Максвела (рис.12.1). На диск, що опускається і має масу m, діють сили тяжіння  і натяг ниток 2 f. Тому прискорення a центра мас диску визначається рівнянням:

ma = mg – 2 f.                                          (12.7)

Як було домовлено, вісь моментів виберемо так, щоб вона проходила через центр мас диска. Момент сили тяжіння відносно цієї осі дорівнює нулю, а момент сил натягу ниток M = 2 f × r  і рівняння моментів має вигляд:

              .                (12.8)

З кінематичних міркувань легко знайти зв’язок між a  і  кутовим прискоренням . Оскільки центр мас опускається саме на стільки, на скільки розкручується нитка, то його переміщенні h і кут повороту диска a зв’язані співвідношенням h = a r. Диференціюючи це співвідношення двічі, дістанемо

.                                       (12.9)

Прискорення a можна визначити, вимірюючи час руху t та відстань h (висоту), пройдені маятником, за допомогою співвідношення:

.                              (12.10)

Підставивши (12.9) у (12.8) з урахуванням (12.10) і (12.7), приходимо до виразу:

                                 ,                       (12.11)

який практичніше переписати так:

                                      ,                               (12.12)

де J - момент інерції маятника, d = 2 r - зовнішній діаметр осі маятника з намотаною на неї ниткою підвісу (d = D _o+2 d _н тут D _о – діаметр осі маятника, d _н – діаметр нитки підвісу), t – час падіння маятника, g – прискорення сили земного тяжіння, h – довжина маятника, що дорівнює висоті падіння, m - маса маятника разом з кільцем, яка визначається за формулою:

                                      m = m _o+ m _p + m _k,                         (12.12а)

де m _o  - маса осі маятника, m _p - маса ролика, m _k - маса кільця, акуратно накладеного на ролик.

     Формула (12.11) – це робоча формула для розрахунку моменту інерції маятника Максвела як без кільця, так і з кільцем.

     Як відомо, момент інерції – адитивна величина:

                                      J = J ₀ + J _p + J _k,                                       (12.14)

де J _o – момент інерції осі маятника, J _p – момент інерції ролика, J _k  – момент інерції кільця. Враховуючи це, із сумарного моменту маятника J можна визначити момент інерції кільця за формулою:

                                  J _k = J - (J _p + J _o),                                (12.15)

де J _o + J _p  - момент інерції маятника Максвела без кільця, J - момент інерції маятника з кільцем.

     Теоретичні формули для обчислення моментів інерції осі маятника, ролика та кільця задаються такими виразами відповідно:

                                           ,

                                           ,                              (12.16)

     У цих виразах D _о, D _p, D _k – зовнішні діаметри осі маятника, ролика та кільця відповідно.

     Загальний вигляд лабораторної установки маятника Максвела приведено на рис.12.2. Основа 2 оснащена регулюючими ніжками 1, які дозволяють проводити вирівнювання приладу. В основі закріплена колонка 3 з нерухомим верхнім кронштейном 4 і рухомим нижнім кронштейном 5. На верхньому кронштейні знаходяться електромагніт 6, фотоелектричний датчик №1 (7) і гвинт 8 для закріплення і регулювання довжини біфілярної (подвійної) підвіски маятника.

     Нижній кронштейн разом з прикріпленим до нього фотоелектричним датчиком №2 (9) можна переміщувати вздовж колонки і фіксувати в довільному положенні.

     Маятник 10 приладу - це ролик, закріплений на осі і підвішений біфілярним способом, на який накладаються замінні кільця 11, зміною яких змінюють момент інерції системи.

                                                     Рис. 12.2

     Маятник з накладеним кільцем утримується в верхньому положенні електромагнітом. Довжина маятника визначається по міліметровій шкалі на колонці приладу. З метою полегшення цього виміру нижній кронштейн оснащено червоним покажчиком, розміщеним на висоті оптичної осі нижнього фотоелектричного датчика. Фотоелектричний датчик №1 закріплено на верхньому кронштейні і з’єднано з секундоміром. На передній панелі секундоміра знаходяться такі маніпуляційні елементи:

     “СЕТЬ” – вимикач електромережі. Натиск цієї кнопки вмикає напругу живлення. Візуально це видно по загоранню цифрових індикаторів (висвічується цифра нуль) і свіченням лампочок фотоелектричних датчиків.

     “СБРОС” – встановлення нуля вимірника. Натиснення цієї кнопки викликає повернення схем секундоміра в початковий стан.

     “ПУСК” – управління електромагнітом. Натиск цієї кнопки означає генерування в схемі секундоміра імпульсу дозволу на вимірювання.

     VI. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ

     1. Приготувати прилад до роботи. Для цього необхідно:

- перевірити заземлення приладу;

- перевірити вирівнювання приладу;

- ввімкнути шнур вимірника в електромережу;

- натиснути кнопку “СЕТЬ”, перевіряючи, чи засвітились

лампочки обох фотоелектричних датчиків.

     2. Нижній кронштейн приладу пересунути і зафіксувати в крайньому нижньому положенні.

     3. На ролик маятника накласти довільно вибране кільце, притискуючи його до упору.

     4. На вісь маятника акуратно намотати нитку підвісу, накладаючи послідовно один біля одного її витки, і зафіксувати вісь. Перевірити, чи співпадає нижня точка кільця з нулем шкали на колонці. Якщо ні, то звільнити верхній кронштейн і відрегулювати його висоту. Закріпити верхній кронштейн.

     5. Натиснути кнопку “ПУСК” секундоміра.

     6. Деблокувати гвинт для регулювання довжини біфілярного підвісу. Визначити довжину нитки таким чином, щоб край стального кільця після спускання маятника знаходився приблизно на 2 мм нижче оптичної осі нижнього фотоелектричного датчика. Одночасно провести коректування установки маятника, звертаючи увагу на те, щоб його вісь була паралельна основі приладу. Блокувати гвинт 8.

     7. Відпустити кнопку “ПУСК”.

     8. Намотати на вісь маятника нитку підвісу, звертаючи увагу на те, щоб вона намотувалася рівномірно, один виток за другим.

     9. Зафіксувати маятник за допомогою електромагніту, звертаючи увагу на те, щоб нитка в цьому положенні не була надто скручена.

     10. Повернути маятник в напрямку його руху на кут ~ 5⁰.

     11. Натиснути кнопку “СБРОС”.

     12. Натиснути кнопку “ПУСК”.

     13. Після падіння маятника прочитати виміряне значення часу падіння маятника. Дослід повторити 5 разів.

     14. Визначити середнє значення  часу падіння маятника, а також довірчий інтервал D t за схемою №1.

     15. По шкалі на вертикальній колонці приладу визначити довжину маятника h, оцінити похибку вимірювання довжини D h.

     16. За допомогою мікрометра або штангенциркуля виміряти діаметр осі разом з намотаною на неї ниткою. Оцінити похибку вимірювання.

     17. Визначити масу маятника разом з кільцем. Значення мас окремих елементів нанесені на них.

     18. За формулою (12.14) обчислити момент інерції маятника. Оцінити похибку визначення моменту інерції маятника за схемою №4.

     19. Згідно п.п.8-18 провести визначення моменту інерції маятника з різними заданими кільцями і без них. Обробку результатів прямих вимірювань проводять за схемою №1, а непрямих - за схемою №4.

     20. Враховуючи визначений момент інерції маятника та ролика з віссю, визначити момент інерції кожного з кілець за формулою (12.15) і оцінити похибку.

     21. Порівняти одержані експериментальні результати з теоретичними значеннями моментів інерції, які задані виразами (12.16).

     22. Кінцеві теоретичні і експериментальні результати подати у вигляді таблиці:

     23. Зробити висновки.

     VII. ПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ І САМОКОНТРОЛЮ

1. Який рух називається плоским рухом твердого тіла?

2. Дати визначення моменту інерції, моменту імпульсу і моменту сили.

3. Сформулювати закони збереження механічної енергії і імпульсу. Яким чином вони проявляються при русі маятника Максвела?

4. Записати формулу для кінетичної енергії тіла при плоскому русі.

5. Пояснити виникнення обертового моменту при русі маятника Максвела.

6. В якому випадку дія сили приводить також і до обертання тіла?

7. Записати рівняння моментів для обертового руху. Показати, що .

8. Записати рівняння руху центра мас маятника Максвела.

9. Вивести формули (12.11) і (12.16).

10. За якими формулами обчислюються довірчі інтервали вимірюваних

величин D, h  i t, а також моментів інерції?

Лабораторна робота № 13