V. Методика експерименту

Гармонічним крутильним коливанням тіла називається періодичний рух навколо осі, що проходить через центр тяжіння цього тіла, коли кут відхилення від положення рівноваги змінюється за законом синуса або косинуса:

                                 ,   або ,         (13.2)

де a₀ – амплітуда коливань.

Рис. 13.1

     Трифілярний підвіс, будова якого показана на рис.13.1, складається із тонкого диска (платформи) масою т радіусом R, підвішеного на трьох симетрично розташованих нитках. Вгорі ці нитки симетрично закріплені до країв диска меншого радіуса r, який в свою чергу закріплений на кронштейні. З ним зв'язана ручка, за допомогою якої системі надаються крутильні коливання. При цьому нижня платформа повертається навколо вертикальної осі на деякий кут a відносно верхньої і виникає момент сил, який прагне повернути платформу в попереднє положення рівноваги. Так виникають крутильні коливання, період яких залежить від моменту інерції платформи. При її навантаженні відбудеться зміна моменту інерції, а отже і періоду коливань.

При обертовому коливанні самої платформи або разом з досліджуваним тілом всі три нитки будуть знаходитись в нахиленому положенні, а центр тяжіння системи дещо піднімається вздовж осі обертання. Закон збереження енергії при нехтуванні тертям для загального випадку можна записати в такому вигляді:

 

                                                             (13.3)

 

де J – момент інерції, M – маса платформи з досліджуваним тілом, E – повна енергія системи, z ₀ – початкова координата точки О ¢ (при a=0), z – координата т. О ¢ після повороту платформи на кут a. З рис.13.1 видно, що точка С має координати (r,0,0), а точка C ¢ – . Відстань CC ¢= l (довжині нитки), тому . При малих кутах, , тоді

 

Звідси

                                     (13.4)

 

Підставивши (13.4) в (13.3), одержимо:

 

                                 .                             (13.5)

Після диференціювання цього виразу по часу одержимо рівняння руху системи:

                                                                        (13.6)

розв'язком якого є вираз

                                           .                               (13.7)

 

Отже, така система має період коливань

 

                                                                                 (13.8)

Звідси момент інерції системи

 

                                 , або J=kMT ²,                    (13.9)

  де                                                                              (13.10)

 

і для даного приладу є стала величина.

     Для пустої платформи момент інерції позначимо через J ₀, а період коливання через T ₀.

     Навантаження платформи проводять двома способами: перший – два циліндри розміщують в центрі платформи, кладучи їх один на другий, і другий спосіб – два циліндри розміщують на лінії діаметру платформи, симетрично відносно її центра і на певній відстані d від центра.

     Для першого способу навантаження момент інерції позначимо J ₁, період коливання T ₁, для другого способу відповідно – J ₂ та T ₂. В обох випадках М = т +2 М _ц., М _ц – маса циліндра. Отже, згідно (13.9):

,                                (13.11)

.                               (13.12)

 

     Тоді момент інерції одного циліндра відносно осі, що проходить через його центр мас, визначається за формулою:

.                          (13.13)

     Момент інерції циліндра відносно осі, яка знаходиться на відстані d від осі, що проходить через центр мас циліндра і паралельна їй, визначається за формулою:

.                                  (13.14)

 

     Формули (13.13) і (13.14) є кінцевими робочими формулами.

     Зв’язок між моментами інерції J _ц.о. і J _ц. задається формулою Гюйгенса-Штейнера.

     Значення величин моментів інерції циліндрів для обох цих випадків можна розрахувати теоретично за відповідними формулами:

 

,                              (13.15)

.                    (13.16)

 

     Формула (13.9) справедлива при відсутності втрат енергії на тертя. Поправки на тертя виявляються незначними у випадку, коли сумарна енергія коливань системи значно перевищує енергію одного коливання, що відповідає умові:

                                           t >> T                                                (13.17)

 

де t - час, протягом якого амплітуда коливань платформи зменшується в 2-3 рази (час релаксації), T - період коливань.

 

     VI. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ

     1. Ознайомитися з установкою, вимірювальними приладами. За допомогою ручки, зв’язаної з малим диском, надають платформі коливного обертового руху. Перевіряють, чи виконується умова (13.17).

     2. Перевіряють умову малості кутової амплітуди (a»5⁰-6⁰) по незалежності періоду коливань від a₀. Для цього вимірюють час (t ₁) 20 повних коливань, визначають період T ₁= t ₁/20 для деякого a₁. Далі амплітуду зменшують приблизно в 2 рази (a₂) і знаходять період Т ₂. Якщо Т ₁= Т ₂, можна проводити вимірювання при кутах a £ a₁. У випадку Т ₁¹ Т ₂, амплітуду необхідно знову зменшити вдвоє і повторити вимірювання до тих пір, доки значення попереднього і наступного періодів не співпадатимуть в межах точності експерименту.

     3. Вимірюють висоту z ₀, радіуси R і r. Розраховують за формулою (13.9) константу k.

     4. Вимірюють час 50 повних коливань пустої платформи 5 разів. Визначають період T ₀= t /50

     5. В центрі платформи один на другий кладуть два однакові циліндри, маси яких знаходять з допомогою терезів на початку експерименту. Знаходять час 50 повних коливань навантаженої платформи, повторивши виміри 5 разів. Визначають період T ₁.

6. Симетрично по відношенню до центра платформи розміщують циліндри на певній відстані. Відстань між центрами циліндрів вимірюють штангенциркулем. Визначають період T ₂ аналогічно п.4 і п.5. Результати вимірювань заносять в таблицю.

7. Результати прямих вимірів часів t ₀, t ₁, t ₂ обробити за схемою №1. Оцінити похибку вимірювань маси циліндрів.

8. За формулами (13.13) та (13.14) визначити моменти інерції циліндрів.

9. Обчислити похибки величин Т ₀, Т ₁, Т ₂ та   J _ц.о., J _ц. за схемами №1 і №4 відповідно; оцінити малість втрат коливної енергії, перевіривши виконання умови (13.17).

10. Перевірити справедливість теореми Гюйгенса-Штейнера.

11. Одержані з експерименту значення J _ц.о. та J _ц. зіставити з розрахованими за формулами (13.15) та (13.16) значеннями.

12. Результати вимірювань і обчислень звести в таблицю. Кінцевий результат представити у вигляді:

                                          

                                          

13. Провести аналіз одержаних результатів, зробити висновки про узгодженість експериментальних даних з теоретичними розрахунками, про виконання теореми Гюйгенса-Штейнера.

 

 

     VII. ПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ І САМОКОНТРОЛЮ

 

1. Дати означення моменту імпульсу та моменту сили. Який фізичний зміст цих величин?

2. Показати зв'язок моменту імпульсу з моментом сили.

3. Чому при проведенні експерименту коливання підвісу повинні відбуватися з малими кутами відхилення від рівноваги?

4. Які сили виникають, як вони змінюються і як направлені в процесі коливання трифілярного підвісу?

5. Дати означення моменту інерції твердого тіла відносно деякої осі. Чи зміниться момент інерції того самого тіла, якщо змінити положення осі обертання у просторі?

6. Чи зміниться період коливань, якщо два важки перемістити з центру на краї платформи по діаметру? Якщо покласти їх один на одний на краю платформи?

7. При якій умові можна знехтувати втратами на тертя у коливній системі?

8. Як експериментально визначити (оцінити) повну енергію коливної системи?; трифілярного підвісу?

9. Вивести формулу для обчислення похибки вимірювання моментів інерції за схемою №4 (для непрямих вимірювань).

 

Лабораторна робота № 14