2018-03-09
113
1. Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:
а) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;
б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;
в) три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарность).
2. Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного произведения, то есть 
. В силу этого свойства смешанное произведение векторов 
, 
и 
можно записывать в виде 
.
3. Смешанное произведение не изменяется, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке: 
.
4. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак: 
.
Пусть векторы заданы их разложением по ортам: 
, 
, 
. Тогда
.
Из свойств смешанного произведения трех векторов вытекает следующее:
- необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служит условие 
;
- объем 
параллелепипеда, построенного на векторах , и , равен: 
.
Решение типовых примеров
Пример 8. Компланарны ли векторы , и , если (-1, 5, 1),
|
|
|
(-1, 3, -1), (2, 0, 2)?
Решение. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов , и является равенство нулю их смешанного произведения, то есть .
Находим смешанное произведение векторов , ,
.
Так как смешанное произведение векторов не равно нулю, то заданные векторы , и не компланарны.
Ответ. Векторы , и не компланарны.
Примеры для самостоятельного решения
Компланарны ли векторы , и ?
7.1 (2, 3, 1), (-1, 0, -1), (2, 2, 2).
7.2 (3, 2, 1), (2, 3, 4), (3, 1, -1).
7.3 (1, 5, 2), (-1, 1, -1), (1, 1, 1).
7.4 (1, -1,-3), (3, 2, 1), (2, 3, 4).
7.5 (3, 3, 1), (1, -2, 1), (1, 1, 1).
7.6 (3, 1, -1), (-2, -1, 0), (5, 2, -1).
7.7 (4, 3, 1), (1, -2, 1), (2, 2, 2).
7.8 (4, 3, 1), (6, 7, 4), (2, 0, -1).
7.9 (3, 2, 1), (1, -3, -7), (1, 2, 3).
7.10 (3, 7, 2), (-2, 0, -1), (2, 2, 1).
7.11 (1, -2, 6), (1, 0, 1), (2, -6, 17).
7.12 (6, 3, 4), (-1, -2, -1), (2, 1, 2).
7.13 (7, 3, 4), (-1, -2, -1), (4, 2, 4).
7.14 (2, 3, 2), (4, 7, 5), (2, 0, -1).
7.15 (5, 3, 4), (-1, 0, -1), (4, 2, 4).
7.16 (3, 10, 5), (-2, -2, -3), (2, 4, 3).
7.17 (-2, -4, -3), (4, 3, 1), (6, 7, 4).
7.18 
(3, 1, -1), (1, 0, -1), (8, 3, -2).
7.19 (4, 2, 2), (-3, -3, -3), (2, 1, 2).
7.20 (4, 1, 2), (9, 2, 5), (1, 1, -1).
7.21 (5, 3, 4), (4, 3, 3), (9, 5, 8).
7.22 (3, 4, 2), (1, 1, 0), (8, 11, 6).
7.23 (4, -1, -6), (1, -3,-7), (2, -1,-4).
7.24 (3, 1, 0), (-5, -4, -3), (4, 2, 4).
7.25 (3, 0, 3), (8, 1, 6), (1, 1, -1).
|
|
|
7.26 (2, 3, -1), (1, -1, 3), (1, 9, -11).
7.27 (2, -1, 3), (1, 1, 1), (0, 0, 5).
7.28 (5, 8, -4), (6, 9, -5), (4, 7, -3).
7.29 (1, 2, 1), (-2, 1, 3), (1, 3, 2).
7.30 (2, 3, 1), (-2, 0, 2), (0, 2, 1).
Задание № 8
Решение типовых примеров
Пример 9. Найти производные данных функций:
а) 
б) 
в) 
г) 
.
Решение:
а) Перепишем заданную функцию в виде 
.
Тогда 
.
б) 
.
в) Перепишем заданную функцию в виде 
. Здесь основание и показатель степени зависят от x. Логарифмируя, получим 
. Продифференцируем обе части равенства по x. Так как у является функцией от x, то ln y есть сложная функция x и 
. Следовательно,
,
Т.е.
.
|
, 
. Следовательно, 
.
Найти производные данных функций:
8.1 а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
.
8.2 а) 
;
б) 
;
в) 
;
г)
|
;
д) 
.
8.3 а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
.
8.4 а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
.
8.5 а) 
;
|
;
в) 
;
г) 
;
д) 
.
8.6 а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
д) 
8.7 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8.8
|
б) 
в) 
г) 
д) 
8.9 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8.10 а) 
б) 
в) 
|
д) 
8.11 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8.12 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8.13 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8.14 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8.15 а) 
|
в) 
г) 
д) 
8.16 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8.17 а) 
б) 
в) 
|
д) 
8.18 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8.19 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8.20
|
б) 
в) 
г) 
д) 
8.21 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8.22 а) 
б) 
в) 
|
д) 
8.23 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8.24 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8.25
|
б) 
в) 
г) 
д) 
