Меркаторская проекция

 

Рис.7

Пусть глобус (рис.7.1), представляющий собой Землю, заключен в цилиндр, касательный к экватору. Для получения сетки меридианов и параллелей спроектируем глобус на цилиндр. Развернув цилиндр в плоскость получим (рис7.2) изображение координатной сетки в виде «долек апельсина», т.е на будущей карте появились пробелы. Выправив меридианы, а выправить меридианы можно только растянув параллели до длины экватора, получим нормальную прямоугольную проекцию (рис.7.3). Но данная проекция будет удовлетворять только одному требованию, а именно линия постоянного курса – локсодромия-на такой проекции будет прокладываться прямой линией, но сама проекция не будет равноугольной (круг на шаре рис.7.1 и 2 превратился в растянутый по долготе эллипс, а квадрат, на этих же рисунках, превратился в прямоугольник). Для того чтобы проекция была равноугольной, необходимо каждый меридиан удлинить в каждой его точке во столько раз, во сколько в данной точке растянулась параллель. Для этого рассмотрим рис.8.

 

 

 Рис.8

 

Пусть на рисунке представлена Земля, R- радиус Земли, r- радиус параллели точки В, φ- широта параллели точки В.

Из рисунка следует Δ CFB ; отсюда , следовательно

; т.е для того, чтобы окружность параллели по длине стала равна окружности экватора, ее надо умножить на секанс ее широты. Отсюда и каждый меридиан должны растянуть в каждой его точке в секанс широты этой точки.

В результате такой растяжки получим нормальную проекцию Меркатора (см. рис.7.4)

 Основные требования, предъявляемые к морской навигационной карте.

Выбор картографической проекции при построении карты определяется, теми целями и задачами, для решения которых карта предназначена. Соответственно этим   задачам, их характеру и особенностям к.картографиче­ской проекции и содержанию карты предъявляются определенные требования. К проекциям, используемым для построения морских навигационных карт, предъявляются следующие основные требования.

1. Проекция должна обладать, свойством равноугольности (конформности). В практике кораблевожде­ния штурман постоянно производит измерения направле­ний (пеленгов) и углов между ориентирами на земной поверхности, которые затем прокладываются на карте. Равноугольность проекции карты облегчает и обеспечивает наибольшие удобства и быстроту прокладки результатов таких измерений, Кроме-- того, равноугольность проекции в наибольшей степени способствует опознанию обстановки на местности по ее изображению на карте, и наоборот.

2. Траектория движения судна, идущего неизменным курсом, и, следовательно, составляющая с земны­ми меридианами постоянный угол,, на морской карте должна изображаться прямой линией, как наиболее простой для графической прокладки. Такая линия называется локсодромией. Если локсодромия будет изображаться на проекции прямой линией, сохраняющей постоянными углы пересечения с меридианами, значит, меридианы должны быть параллельными прямыми. Но параллели и меридианы всегда перпендикулярны друг другу. Следовательно, картографическая сетка морской карты, удовлетворяющая первому и второму условиям, Должна"состоять из двух семейств прямых линий —гео­графических меридианов и параллелей, взаимно перпен­дикулярных друг другу.

 

3. Поскольку в практике кораблевождения решение ряда навигационных задач производится при условии принятия фигуры Земли за шар, было бы практически удобно, чтобы на картографической сетке морской кар­ты дуга большого круга ортодромия изображалась также наиболее, простой линией —прямой или; близкой к прямой линией, Это требование, особенно важно для обеспечения плавания в.высоких широтах.

4. Наконец, одним из важных требований, предъяв­ляемых к картографической проекции, является требо­вание давать высокую: точность изображения по всей картографируемой площади. Иначе говоря, это требо­вание состоит в том, чтобы искажения длин как в раз­ных местах картографируемой площади, так и около одной точки по разным направлениям не превышали ошибок графических измерений и построений на карте с помощью прокладочного штурманского инструмента.

Удовлетворить одновременно всем перечисленным требованиям ни одна картографическая проекция не мо­жет. Поэтому для целей кораблевождения строятся и издаются карты в разных проекциях, а используются при решении отдельных задач те из них, которые в дан­ных конкретных условиях наилучшим образом отвечают перечисленным требованиям, и требованиям решаемой задачи.

Основными проекциями, используемыми для состав­ления морских карт, являются:

— равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора;

— равноугольная поперечная цилиндрическая проек­ция Гаусса;

— равноугольная азимутальная (стереографическая) проекция;

— центральная (гномоническая) проекция;

— равноугольная поперечная проекция Меркатора.

 

 4. Общие понятия о масштабах

Масштабом в общем случае называется степень уменьшения линий на чертеже относительно соответ­ствующих линий в натуре.

Линии на местности не всегда горизонтальны, по­этому при съемке местности в длины линий, измерен­ных в натуре, вводятся поправки за приведение к гори­зонту, а тем самым все точки местности ортогонально проектируются на горизонтальную плоскость. Таким образом, на съемочных планшетах, используемых для составления карт, мы имеем дело не с натуральными длинами линий, а с их горизонтальными проложениями, взятыми в определенном масштабе.

Масштабом плана называется отношение длины линии на плане к длине горизонтального проложения соответствующей линии на местности, т. е. степень уменьшения линий на плане относительно горизон­тальных проложений соответствующих линий на мест­ности.

Масштаб для данного плана во всех его частях является величиной постоянной. Из-за незначительных размеров участка местности, которую охватывает план, влиянием кривизны уровенной поверхности пренебрегают, так как ошибки возникающие от этого допущения, ниже точности съемочных и картосоставительских работ.

 

Изображение значительных участков местности может быть выполнено лишь, в переменном мас­штабе.

Масштаб карты в общем случае меняется при пере­ходе от одной точки к другой и в пределах даже малых отрезков, исходящих из данной точки, является величиной переменной по различным направлениям. Иными словами, масштаб карты есть функция не только коор­динат, но и направления.

Масштабом карты в данной точке и по данному направлению называется отношение бесконечно малого элемента линии на карте к соответ­ствующему бесконечно малому элементу линии на мест­ности, т. е.

Этот масштаб карты называется частным маесштабом.

В отдельных случаях в зависимости от характера проекции на картах может сохраняться постоянство масштаба не только в данной точке, но и на некоторых определенных линиях или по определенным направле­ниям.

Например, на карте в меркаторской проекции мас­штаб сохраняет свою величину на бесконечно близком расстоянии от данной точки по всем направлениям, исходящим из этой точки, и во всех точках, располо­женных на данной параллели.

Характер изменения масштаба на карте зависит от тех требований, которые были наложены на картографическую проекцию при ее выводе, т. е. от выбранного способа изображения.

При вычислении картографической сетки задаются численным значением масштаба, который в зависимости от характера проекции должен сохраняться в опреде­ленных местах карты. Этот масштаб приводится в заго­ловке карты. При этом, кроме численного значения мас­штаба, в заголовке указывается место на карте, кото­рому это значение соответствует. Этот масштаб карты называется главным масштабом карты. Напри­мер, для карты в проекции Меркатора масштаб 1:200000 по параллели 60° означает, что масштаб 1:200 000 со­храняет свое значение только на параллели широты 60°; во всех остальных местах карты указанный масштаб своего значения не сохраняет.

Для оценки достоинства картографических проекций с точки зрения линейных искажений, присущих проек­циям, служит увеличение масштаба.

Увеличением масштаба называется отноше­ние частного масштаба к главному масштабу, т. е.

где М₀ — главный масштаб, М — частный масштаб, g-увеличение масштаба.

Например, если главный масштаб 1:250 000, а част­ный в некоторой точке 1:200 000, то увеличение

 

Частный масштаб равен произведению главного масштаба на увеличение масштаба            

 

 Изменение масштабов на проекции Меркатора.

Масштабы по меридианам и параллелям для проекции Меркатора выражается следующими формулами:

 

                                      ; ;

Поскольку проекция Меркатора является равноугольной и, следовательно, m=n, то характер изменения масштабов на проекции Меркатора можно рассмотреть проанализировав формулу:

 

;

 

1. Из приведенной формулы вытекает, что масштабы изменяются с изменением широты и постоянны на дан­ной параллели (не зависят от долготы).

2. При φ == 0 (на экваторе) г максимальное и равно а (большая полуось земного эллипсоида) п будет ми­нимальное. Значит минимальный (наиболее мелкий) масштаб на проекции Меркатора будет на экваторе.

3. На параллелях, равно отстоящих по обе стороны от экватора, масштабы будут равны между собой и больше (крупнее), чем на экваторе.

4. При φ = 90° (на полюсах) r= 0, масштаб будет равен бесконечности.

Если принять главный масштаб за единицу, тогда формула     будет выражать увеличение масштаба. Приведенный выше анализ этой формулы позволяет сделать следующие выводы о характере изменений уве­личения масштабов на проекции Меркатора.

1. Увеличение масштаба на данной параллели по­стоянно (от долготы не зависит).

2. Увеличение масштаба на параллели сечения равно единице, а в пределах поверхности, заключенной между параллелями сечения, меньше единицы и достигает минимума на экваторе. Для случая касательного цилиндра (главный масштаб по экватору) увеличение масштаба равно единице на экваторе и возрастает к полюсам по мере удаления от экватора.

3. На параллелях, равноотстоящих по обе стороны от экватора, увеличения масштабов равны между собой, т. е. растут от экватора к обоим полюсам симме­трично.

4. К северу от параллели сечения северного полу­шария и к югу от параллели сечения южного полу­шария увеличения масштабов больше единицы, растут по мере удаления от них и при <р = 90° (на полюсах) становятся равными бесконечности.