Оценки упругих характеристик композита снизу и сверху

Оценка Фойхта

Она основана на теореме о минимуме потенциальной энергии системы.

Введем понятие матрицы упругих постоянных.

,

D – матрица упругих характеристик.

Для ортотропного тела:

,

Задача состоит в оценке жесткостей , если известны жесткости матрицы и арматуры.

Энергия деформации в единице объема тела имеет вид:

.

Т.к. D – симметрическая матрица, то , т.е.

.

Т.к. D – положительно определенная матрица (это следует из основ термомеханики), то

.

Потенциальная энергия системы (под системой понимается: упругое тело + внешняя нагрузка)

 ,

где P – вектор внешних сил,

u – вектор перемещения.

П = минимум для истинных u, .

Доказательство:

Пусть u₀,  - истинные значения, а ,  - неистинные.

Докажем, что .

Т.к. из принципа Лагранжа , то

.

 Т.к.  - квадратичная форма, то

 ч.т.д.