Проверка:
Ответ: x=0,5; y=2; z=1,5.
Задание 2. Решить методом Гаусса систему уравнений
x1 – 2x2 + x3 + x4 = –1;
3x1 + 2x2 – 3x3 – 4x4 = 2;
2x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = 9;
x1 + 3x2 – 3x3 – x4 = –1.
Решение:Составим матрицу В и преобразуем ее. Для удобства вычислений отделимвертикальной чертой столбец, состоящий из свободных членов:
1 –2 1 1 –1
B = 3 2 –3 –4 2
2 –1 2 –3 9
1 3 –3 –1 –1
Умножим первую строку матрицы В последовательно на 3, 2 и 1 и вычтем соответственно из второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу,эквивалентную исходной:
1 –2 1 1 –1
0 8 –6 –7 5
0 3 0 –5 11
0 5 –4 –2 0
|
|
Третью строку матрицы умножим на 3 и вычтем ее из второй строки. Затем новую вторую строку умножим на 3 и на 5 и вычтем из третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:
1 –2 1 1 –1
0 –1 –6 8 –28
0 0 –1 0 –3
0 0 0 19 –19
Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной:
x1 – 2x2 + x3 + x4 = –1;
– X2 – 6x3 + 8x4 = –28;
– x3 = –3;
19x4 = –19.
Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от последнего уравнения к первому. Из четвертого уравнения x4 = –1, из третьего х3 = 3. Подставив значения х3 и x4 во второе уравнение, найдем x2 = 2. Подставив значения x2, x3, x4 в первое уравнение, найдем x1 = 1.
Ответ. (1; 2; 3;-1).
Задание 3. Решить систему уравнений методом обратной матрицы.
2 x1 | + | 3 x2 | = | 4 | ||
- 2 x1 | + | x2 | = | 5 |
Решение:
Введем обозначения:
A = | 2 | 3 | - матрица А состоит из коэффициентов системы. | ||
-2 | 1 |
X = | x 1 | - матрица X состоит из переменных, которые необходимо найти. | ||
x 2 |
B = | 4 | - матрица B состоит из столбца свободных членов. | ||
5 |
E = | 1 | 0 | - единичная матрица. | ||
0 | 1 |
Теперь исходную систему уравнений можно записать в виде матричного уравнения.
A * X = B
Умножим (слева) левую и правую часть уравнения на A-1 - матрицу обратную матрице A.
|
|
A -1 * A * X = A -1 * B
Согласно определению обратной матрицы: A -1 * A = E
E * X = A -1 * B
Согласно определению единичной матрицы: E * X = X
X = A -1 * B
задача сводится к нахождению обратной матрицы A -1
| * |
|
X = A -1 * B = 1 / 8 * | -11 | ||
18 |
X = | -11/8 | ||
9/4 |
Ответ: x1 = -11/8 x2 = 9/4
Задание 4. Сложить и умножить комплексные числа и .
Решение. Для сложения чисел производим следующие вычисления:
Теперь умножаем:
Ответ.5+5i, 2+11i
Приложение:
ВАРИАНТ 1
Задание 1. Найти решение систем линейных уравнений методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы:
Задание 2. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
ВАРИАНТ 2
Задание 1. Найти решение систем линейных уравнений методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы:
Задание 2. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
ВАРИАНТ 3
Задание 1. Найти решение систем линейных уравнений методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы:
Задание 2. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
ВАРИАНТ 4
Задание 1. Найти решение систем линейных уравнений методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы:
ВАРИАНТ 5
Задание 1. Найти решение систем линейных уравнений методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы:
Задание 2. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
ВАРИАНТ 6
Задание 1. Найти решение систем линейных уравнений методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы:
Задание 2. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
ВАРИАНТ 7
Задание 1. Найти решение систем линейных уравнений методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы:
Задание 2. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
ВАРИАНТ 8
Задание 1. Найти решение систем линейных уравнений методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы:
Задание 2. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
ВАРИАНТ 9
Задание 1. Найти решение систем линейных уравнений методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы:
Задание 2. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
ВАРИАНТ 10
Задание 1. Найти решение систем линейных уравнений методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы:
Задание 2. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
Практическая работа №2. Предел функции. Вычисление производной функции. Исследование и построение графиков функций с помощью производной
Цель работы. Сформировать навыки вычисления пределов последовательностей и пределов функций. Сформировать умение находить производные сложных функций, усвоить геометрический и физический смысл производной. Сформировать навыки нахождения неопределенных интегралов различными методами
В результате выполнения работы студенты осваивают следующие результаты обучения в соответствии с ФГОС СПО:
умения:
- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;
знания:
-значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;
-основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;
-основные понятия и методы математического анализа
основы интегрального и дифференциального исчисления
Порядок выполнения работы:
1. Повторите теоретические положения по теме и записать определение, формулы расчета и т.п.
|
|
2. Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.
3. Сделайте выводы по результатам работы
Теоретическая часть
Определение: Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любых значений аргумента (х¹а) изсколь угодно малой окрестности точки а, последовательность соответствующих значений функции f(x) мало чемотличается от А (т.е. f(x) приближенно равны А).
В этом случае пишут
Свойства пределов:
Теорема 1: Функция не может иметь двух разных пределов в точке.
Теорема 2: Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют: ,
Теорема 3: Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют: ,
Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
,
Теорема 4: Предел отношений двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:
,