2018-03-09
103
Рассмотрим на примере построение регрессионной зависимости сопротивлений внедрению днища ковша в крупнокусковой материал Wвн от глубины внедрения в штабель S
Wвн=f(S) (2.1)
по результатам экспериментальных исследований методом наименьших квадратов (МНК).
Рис.2.1 Расчетная схема, в которой выполняется эксперимент
Рассмотрим метод наименьших квадратов на примере квадратичной зависимости Y = a0 + a1X + a2X2. Посредством МНК значения a0, a1 и a2 находятся из условия минимизации суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика Yj от получаемых с помощью регрессионной модели, т. е. путем минимизации суммы:
(2.2)
В данном случае Y - это отклик Wвн, а X - это фактор S, ∆Y - отклонение экспериментальных данных Yj от их расчетного значения; a0, a1 и a2 - искомые коэффициенты полинома второй степени Y = a0 + a1X + a2X2 (для нашего примера
Wвн= a0 + a1S + a2S2)
Минимизация суммы квадратов производится обычным способом с помощью дифференциального исчисления путем приравнивания к нулю первых частных производных по a0, a1 и a2.
|
|
|
Выполнив ряд преобразований, получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов.
Возьмем производные от функции (2.1) 
для a0, a1 и a2.
Производная от правой скобки равна 1, т.к. величины Yj, Xj от a0 не зависят и являются постоянными, а коэффициенты a1 и a2 являются независимыми переменными, по которым в данном случае не берется частная производная. Поэтому получаем
=0 или
=0, (2.3)
где N - число измерений;
или 
.
Если вычислить сумму почленно, то получим
(2.4)
Частная производная по коэффициенту a1
(2.5)
Частная производная по коэффициенту a2
(2.6)
Таким образом, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов a0, a1 и a2
(2.7)
