Методические указания к выполнению аналитической части работы

Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии произведем эксперимент и составим таблицу 2.1 результатов эксперимента. Предварительный анализ показывает, что при S=0 сопротивление внедрению также равны нулю. Потому в уравнении регрессии Y = a₀ + a₁X + a₂X² свободный член a₀=0. Тогда задача сводится к отысканию только двух неизвестных коэффициентов в квадратном полиноме в виде Y = a₁X + a₂X²,  или в наших переменных W= a₁S + a₂S².

 

Таблица 2.1 - Результаты экспериментов по определению

сопротивлений внедрению W_j =f(S_j) и расчету

коэффициентов a₁ и a₂

j	Sj, м	Sj2	Sj3	Sj4	Wj, кН	Sj Wj	Sj2 Wj
1	0	0	0	0	0	0	0
2	0.1	0,01	0,001	0,0001	50	5,0	0,5
3	0,2	0,04	0,008	0,0016	120	24	4,8
4	0,3	0,09	0,027	0,0081	180	54	16,2
5	0,4	0,16	0,064	0,0256	230	92	34,8
6	0,5	0,25	0,125	0,0625	300	150	75
7	0,6	0,36	0,216	0,1296	340	204	122,4
8	0.7	0,49	0,343	0/2401	400	280	196
9	0,8	0,64	0,512	0,496	430	344	275,2
10	0,9	0,82	0,729	0,6561	500	450	405
11	1,0	1,0	1,0	1,0	520	520	520
Σ	–	3,85	3,025	2,62	–	2123	1649,0

Проделав необходимые преобразования по аналогии с предыдущим, получим систему двух алгебраических уравнений для поиска неизвестных коэффициентов a₁ и a₂:

                   (2.8)

Результаты опытов и их обработку для вычисления искомых коэффициентов a₁ и a₂ сведем в таблицу 2.1. Общее количество точек измерений 11 на отрезке 0...1,0 м через 0,1 м. В каждой точке глубина внедрения S_j определятся точно, а сопротивления внедрению W_j носят стохастический характер. В таблицу наряду с исходными экспериментальными данными сразу вводятся результаты расчета для решения уравнений (2/8).

Уравнения после подстановки значений из таблицы будут иметь вид:

a₂3,025+a₁3,85=2123,

a₂2,62+a₁3,025=1650/

Разделим первое и второе уравнения на коэффициенты при a₂

a₂+a₁1,273=701,8

a₂+a₁1,155=629,8.

Вычтем из первого уравнения второе:

0,118a₁=728; a₁=610,2; a₂= 701,8-1,273·610,2= –74,98.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

График функции W(S) показан на рисунке 2.2.

Рис. 2.2 Графическое представление регрессионной зависимости W(S)

Представленная на рисунке 2.2 зависимость W(S) неадекватно отражает физический процесс внедрения днища ковша СДМ в штабель. Фактически с глубиной внедрения интенсивность роста сопротивлений внедрению возрастает, т.к. увеличивается ядро уплотнения, растет зона выпирания непропорционально глубине внедрения. Поэтому был выполнен новый эксперимент, результаты которого приведены в таблице 2.2.

 

Таблица 2.2 - Результаты повторного экспериментов по определению сопротивлений внедрению и расчетов для определения коэффициентов a₁ и a₂  во второй группе опытов

j	Sj, м	Sj2	Sj3	Sj4	Wj, кН	Sj Wj	Sj2 Wj
1	0	0	0	0	0	0	0
2	0.1	0,01	0,001	0,0001	20	2	0,2
3	0,2	0,04	0,008	0,0016	70	14	2,8
4	0,3	0,09	0,027	0,0081	100	30	9
5	0,4	0,16	0,064	0,0256	150	60	24
6	0,5	0,25	0,125	0,0625	140	70	35
7	0,6	0,36	0,216	0,1296	230	138	82,8
8	0.7	0,49	0,343	0/2401	260	182	127,4
9	0,8	0,64	0,512	0,496	380	304	243,2
10	0,9	0,81	0,729	0,6561	500	450	405
11	1,0	1,0	1,0	1,0	580	580	580
Σ	–	3,85	3,025	2,62	2304	1830	1509,4

Уравнения после подстановки значений из таблицы будут иметь вид:

a₂3,025+a₁3,85=1830

a₂2,62+a₁3,025=1509,4

Решая систему уравнений относительно искомых коэффициентов a₁ и a₂, получаем уравнение регрессии

W(S) = 244,9S+293,2S²

Вычисленные в среде Mathcad значения функции W(S) имеют вид, представленный в матрице и на рисунке 2.3.

Из вида математической модели следует, что сопротивления внедрению W(S) имеют линейную составляющую 244,9S и квадратичную составляющую 293,2S², что соответствует физическим представлениям о процессе внедрения днища ковша в штабель.

Соотношение значений W(S), полученным в эксперименте и вычисленным по регрессионной модели, имеют вид, представленный в таблице 2.3.

 

Рис. 2.3 Графическое представление регрессионной зависимости после повторного уточнения экспериментальных данных

 

Таблица 2.3 Сопоставление расчетных и экспериментальных данных

S,м	W(S)э - эксперимент	W(S)м - мат. модель	W(S)э/W(S)м
0	0	0	-
0,1	20	27,4	0,73
0,2	70	60,7	1,15
0,3	100	99,8	1,002
0,4	150	144,9	1,035
0,5	140	195,8	0,715
0,6	230	252,5	0,91
0,7	260	315,1	0,825
0,8	380	383,6	0,99
0,9	500	457,9	1,09
1,0	580	538,1	1,078

 

Из таблицы 2.3 и графиков на рис. 2.3  видно, что отклонение расчетных значений от экспериментальных может достигать значительных величин - до 28,5 %, однако средняя ошибка по всем точкам минимальна.