Каких цифр нет в числе (1 балл)

(2012 11 класс Отборочный)

Запись некоторого числа в шестнадцатеричной системе счисления состоит из 24 цифр. Известно, что при этом использовались только цифры A и F. Перечислите через пробел в порядке возрастания цифры, которые не могут встретиться в записи этого числа в восьмеричной системе счисления. (Ответ: 0 1 4)

 

Решение: в 16-тиричной с.с. на каждую цифру приходится 4 знака в 2-й с.с., в 8-ричной – 3 знака.

1 знак 16-ричной с.с. – 4 знака

2 знака 16-ричной с.с. – 8 знаков

3 знака 16-ричной с.с. – 12 знаков в 2-й с.с. – 4 знака в 8-ричной с.с.

Переберем все возможные варианты:

AAA₁₆       101-010-101-010₂ 5252₈

AAF₁₆ 101-010-101-111₂ 5257₈

AFA₁₆ 101-011-111-010₂ 5372₈

AFF₁₆ 101-011-111-111₂ 5377₈

FAA₁₆ 111-110-101-010₂ 7652₈

FAF₁₆ 111-110-101-111₂ 7657₈

FFA₁₆ 111-111-111-010₂ 7772₈

FFF₁₆ 111-111-111-111₂ 7777₈

 

Запись некоторого числа в шестнадцатеричной системе счисления состоит из 24 цифр. Известно, что при этом использовались только цифры 7 и E. Перечислите через пробел в порядке возрастания цифры, которые не могут встретиться в записи этого числа в восьмеричной системе счисления. (Ответ: 0 2)

 

Запись некоторого числа в шестнадцатеричной системе счисления состоит из 24 цифр. Известно, что при этом использовались только цифры 2 и A. Перечислите через пробел в порядке возрастания цифры, которые не могут встретиться в записи этого числа в восьмеричной системе счисления. (Ответ: 3 6 7)

Суммирование чисел (3 балла)

Васильев 1 тур

 

Загаданы два натуральных числа в шестеричной системе счисления. Известно, что первое из них состоит из трех значащих цифр, начинаясь на цифру 1 и оканчиваясь на цифру 2. Второе число состоит из двух значащих цифр. Посчитайте сумму этих чисел в шестеричной системе счисления, если известно, что их произведение равно 1232₆. В ответе укажите натуральное число в шестеричной системе счисления. (ответ: 123)

 

Загаданы два натуральных числа в пятеричной системе счисления. Известно, что первое из них состоит из трех значащих цифр, начинаясь на цифру 1 и оканчиваясь на цифру 3. Второе число состоит из двух значащих цифр. Посчитайте сумму этих чисел в пятеричной системе счисления, если известно, что их произведение равно 1133₅. В ответе укажите натуральное число в пятеричной системе счисления.

 

 

Многозначное число из двух цифр 2 балла

Запись некоторого числа в шестнадцатеричной системе счисления состоит из 24 цифр. Известно, что при этом использовались только цифры A и F. Перечислите через пробел в порядке возрастания цифры,

которые не могут встретиться в записи этого числа в восьмеричной системе счисления. (Ответ: 0 1 4)

 

Запись некоторого числа в шестнадцатеричной системе счисления состоит из 24 цифр. Известно, что при этом использовались только цифры 7 и E. Перечислите через пробел в порядке возрастания цифры, которые не могут встретиться в записи этого числа в восьмеричной системе счисления. (Ответ:  0 2)

 

Запись некоторого числа в шестнадцатеричной системе счисления состоит из 24 цифр. Известно, что при этом использовались только цифры 2 и A. Перечислите через пробел в порядке возрастания цифры,

которые не могут встретиться в записи этого числа в восьмеричной системе счисления. (Ответ:  3 6 7)

 

 

Число при перестановке цифры 1 балл

Четырехзначное число, записанное в восьмеричной системе счисления имеет старшим разрядом единицу. Если эту единицу переместить в конец записи, то новое число окажется в три раза больше исходного. Определите исходное число и запишите его в восьмеричной системе счисления. (Ответ: 1463)

Решение: 1 Способ:

1xyz

       3

       -------

       xyz1

z *3 оканчивается на 1, т е. это 11₈ (т.к. 21₈ не может быть, т.к. это 17 в 10-й с.с., а наибольшие цифры в 8-й с.с. при перемножении дают только 7 * 7 = 14)

11₈=9₁₀, следовательно z=3,

1xy3

       3

       -------

       xy31

 

y * 3 +1 = 3₈ (может быть и 13_8, и 23₈)

Из первого предположения y=0, второе не имеет решения, из третьего – y=6

Рассмотрим первое предположение

1x03

       3

       -------

       x031           х может быть только 3, но при подстановке это решение не подходит.

Рассмотрим второе предположение

1x63

       3

       -------

       x631           6=3*х+2    нет решения

16₈=3*х+2 14=3х+2    х=4 

Подставив в исходное выражение, получаем верное равенство.

 

2 способ:

3*(1*8³+А)=А*8+1

1535=5А

А=307₁₀=463₈

Ответ: 1463₈

 

Четырехзначное число, записанное в семеричной системе счисления имеет старшим разрядом единицу. Если эту единицу переместить в конец записи, то новое число окажется в три раза больше исходного. Определите исходное число и запишите его в семеричной системе счисления. (Ответ: 1515)

 

Четырехзначное число, записанное в одиннадцатеричной системе счисления имеет старшим разрядом единицу. Если эту единицу переместить в конец записи, то новое число окажется в три раза больше исходного. Определите исходное число и запишите его в одиннадцатеричной системе счисления. (Ответ: 1414)

 

 

Подсчет числа пар по условию 3 балла

Сколько существует различных пар натуральных чисел, таких что:

1. Оба числа, записанные в пятеричной системе счисления, имеют ровно по три значащих разряда.

2. Сумма этих чисел, записанная в пятеричной системе счисления, содержит только цифры «1».

Пары чисел, отличающиеся только порядком следования чисел в паре, считаются одинаковыми.

В ответе укажите целое число. Ответ: 47

 

 

Сколько существует различных пар натуральных чисел, таких что:

1. Оба числа, записанные в шестеричной системе счисления, имеют ровно по три значащих разряда.

2. Сумма этих чисел, записанная в шестеричной системе счисления, содержит только цифры «1».

Пары чисел, отличающиеся только порядком следования чисел в паре, считаются одинаковыми.

В ответе укажите целое число. Ответ: 86

 

Сколько существует различных пар натуральных чисел, таких что:

1. Оба числа, записанные в семеричной системе счисления, имеют ровно по три значащих разряда.

2. Сумма этих чисел, записанная в семеричной системе счисления, содержит только цифры «1».

Пары чисел, отличающиеся только порядком следования чисел в паре, считаются одинаковыми.

В ответе укажите целое число. Ответ: 143

 

Дроби – 3 балла 

После перевода некоторого рационального числа из десятичной системы счисления в четверичную

получилась периодическая дробь, записывающаяся как 13,1(30)₄. Найдите это число и запишите его в

десятичной системе счисления, используя в качестве разделителя целой и дробной части числа знак

запятой. Ответ: 7,45

 

После перевода некоторого рационального числа из десятичной системы счисления в четверичную

получилась периодическая дробь, записывающаяся как 21,2(21)₄. Найдите это число и запишите его в

десятичной системе счисления, используя в качестве разделителя целой и дробной части числа знак

запятой. Ответ: 9,65

 

После перевода некоторого рационального числа из десятичной системы счисления в четверичную

получилась периодическая дробь, записывающаяся как 12,3(12)₄. Найдите это число и запишите его в

десятичной системе счисления, используя в качестве разделителя целой и дробной части числа знак

запятой. Ответ: 6,85