Подсчет количества чисел по условию 2 балла

2012 9-10 класс финал

Сколько существует натуральных чисел, меньших 256₁₀, таких, что в записи каждого числа в двоичной системе счисления будет равное количество единиц и значащих нулей. В ответе укажите целое число. Ответ: 49

 Решение:

256₁₀= 100000000₂

Необходимо подсчитать количество 2-значных, 4-значных, 6-ти и 8-значных чисел из одинакового числа единиц и нулей.  (можно подсчитать при помощи Excel)

2-значных: одно (10₂),

4-хзначных: 3

6: 10

8: 35

 

Сколько существует натуральных чисел, меньших 1024₁₀, таких, что в записи каждого числа в

двоичной системе счисления будет равное количество единиц и значащих нулей. В ответе укажите

целое число. (Ответ: 175)

 

Сколько существует натуральных чисел, меньших 4096₁₀, таких, что в записи каждого числа в

двоичной системе счисления будет равное количество единиц и значащих нулей. В ответе укажите

целое число. (Ответ: 637)

 

Балла

Чему равно наименьшее основание позиционное системы счисления Y, при котором 156_X = 13_Y? Ответ записать в виде целого числа. Ответ 87

Решение:

х≥7, y>x

Переведём обе части выражения в 10-ю с.с.

X²+5*x+6=y+3

X² +5x+3=y

Пусть х=7, тогда 49+35+3=87

 

Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления Y, при котором 225_X=14_Y? Ответ записать в виде целого числа. (Ответ 85)

 

Вычислить значение выражения 32₄ * F2₁₆ =? ₁₀. Полученное число переведите в систему счисления с основанием 2. В ответ записать сумму значения выражения в системе счисления с основанием 10 и количества единиц в получившейся двоичной записи. Ответ записать в виде целого числа. (Ответ 3395)

Решение:

 

Вычислить значение выражения 32₈ * A4₁₆ =? ₁₀. Полученное число переведите в систему счисления с основанием 2. В ответ записать сумму значения выражения в системе счисления с основанием 10 и количества единиц в получившейся двоичной записи. Ответ записать в виде целого числа. (Ответ 4268)

 

Балл

Некоторое натуральное число, записанное в системе счисления с основанием x, является трехзначным: abc_x. В конец этого числа дописали его цифры в том же порядке. Получилось шестизначное число abcabc_x. Оказалось, что новое число в сто двадцать шесть раз больше исходного. Определите основание системы счисления x. В ответе укажите целое число. (ответ: 5)

 

Балла

Число X = (64³² + 16⁸ -1) * 8⁴ + 4² -1 перевели из десятичной в двоичную систему счисления. Сколько единиц получилось в двоичной записи числа? В ответе укажите целое число. (ответ: 37)

11 класс

 

1 балл

В числе, записанном в римской системе счисления, поменяли местами вторую и третью от начала цифры, а затем перевели результат в десятичную систему счисления. Получилось число 216. Определите исходное число, переведите его в десятичную систему счисления и запишите результат.

Напомним, что для записи чисел в римской системе счисления используется набор из семи цифр (I, V, X, L, C, D, M). ответ: 196

 

Восстановление утерянных цифр (1 балл)

Васильев 1 тур ответ: 1395

Система счисления	Запись числа
Двоичная	#0#01##0###
Четверичная	###3#3
Восьмеричная	#5#3
Шестнадцатеричная	5##

Одно и то же число перевели в двоичную, четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Впоследствии часть цифр в записи этого числа в каждой из перечисленных систем счисления оказалась утерянной. В результате сохранилась только информация, представленная в таблице:

Каждый знак # означает одну утерянную значащую цифру. Определите исходное число и запишите его в десятичной системе счисления. В ответе укажите целое число.

 

Тренировка

Система счисления	Запись числа
Четверичная	#2#
Восьмеричная	#2
Шестнадцатеричная	2#

Одно и то же число перевели в четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Впоследствии часть цифр в записи этого числа в каждой из перечисленных систем счисления оказалась утерянной. В результате сохранилась только информация, представленная в таблице:

 

 

Система счисления	Запись числа
Двоичная	##1##11#0##
Четверичная	##0##2
Восьмеричная	3#7#
Шестнадцатеричная	7##

Одно и то же число перевели в двоичную, четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Впоследствии часть цифр в записи этого числа в каждой из перечисленных систем счисления оказалась утерянной. В результате сохранилась только информация, представленная в таблице:

          

Система счисления	Запись числа
Двоичная	#1#1##10#1#
Четверичная	1##1##
Восьмеричная	#2#7
Шестнадцатеричная	6##

Одно и то же число перевели в двоичную, четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Впоследствии часть цифр в записи этого числа в каждой из перечисленных систем счисления оказалась утерянной. В результате сохранилась только информация, представленная в таблице:

 

 

Некоторое натуральное число, записанное в системе счисления с основанием x, является трехзначным: abc_x. В конец этого числа дописали его цифры в том же порядке. Получилось шестизначное число abcabc_x. Оказалось, что новое число в шестьдесят пять раз больше исходного. Определите основание системы счисления x. В ответе укажите целое число. (ответ: 4)

Решение:

Abc_x *65 = abcabc_x                                abcabc_x = abc* x³ + abc

Введем обозначение: abc = к

Тогда к *65 = к * х³ + к

64 * к = к *х³

Х=4

 

 

Некоторое натуральное число, записанное в системе счисления с основанием x, является трехзначным: abc_x. В конец этого числа дописали его цифры в том же порядке. Получилось шестизначное число abcabc_x. Оказалось, что новое число в пятьсот тринадцать раз больше исходного. Определите основание системы счисления x. В ответе укажите целое число. ответ: 8

Подсчет количества единиц 2 балла

Некоторое восьмеричное число возвели в квадрат и перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Получилось число 14E58D1₁₆. Сколько было единиц в записи исходного числа в восьмеричной системе счисления? В ответе укажите целое число. Ответ: 5

 

Некоторое восьмеричное число возвели в квадрат и перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Получилось число 538D1₁₆. Сколько было единиц в записи исходного числа в восьмеричной системе счисления? В ответе укажите целое число. Ответ: 4

 

Некоторое восьмеричное число возвели в квадрат и перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Получилось число 1083081₁₆. Сколько было единиц в записи исходного числа в восьмеричной системе счисления? В ответе укажите целое число. Ответ: 3