Понятие о частотных характеристиках

 

Как известно, полное решение общего дифференциального уравнения САУ складывается из двух составляющих:

1. Свободной составляющей, которая находится из решения однородного дифференциального уравнения (характеристического уравнения)

.             (1.10)

2. Вынужденной составляющей (частное решение), которая полностью определяется законом изменения во времени внешнего воздействия на САУ.

Удобно рассматривать динамику САУ  (рисунок 1.1) или звена САУ при гармоническом изменении входной величины

                           .                                                                                         

Тогда спустя некоторое время после начала действия X_ВХ на выходе системы установятся гармонические колебания той же частоты, что и частота входного воздействия, но имеющие другую амплитуду и фазу, т.е. вынужденную составляющую X_ВЫХ.

хВЫХ

хВХ

jВХ

jВЫХ

j

wt

Рисунок 1.3 – Входное и выходное значения

 

Очевидно, что при подаче на вход системы воздействия с той же амплитудой A_ВХ и начальной фазой j_ВХ, но другой частоты на выходе системы амплитуда A_ВЫХ и фаза j_ВЫХ будут иные.

 

Пример 1.1.

u = Umsinwt

L

i

R

    Установившейся ток

                                   

                                            в данном случае I_m и j являются функцией w.

 

 

Зависимость относительной амплитуды выходной величины от частоты называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) САУ

                         - АЧХ.                                            (1.11)

Зависимость сдвига фаз между гармоническими колебаниями выходной и входной величины от частоты называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) САУ

А, j

А(w)

j(w)

w

                                                

                                            -  ФЧХ.   (1.12)

 

 

Рисунок 1.4 – Зависимость АЧХ и ФЧХ от частоты

 

Совместное изменение амплитуды и фазы выходной величины от частоты можно получить, если представить синусоидальные функции в комплексной форме:

,

                             .                       (1.13)

АЧХ

ФЧХ

Если взять отношение выходной величины Х_ВЫХ(jw) к входной величине Х_ВХ(jw), то получим

       .  (1.14)

 

Комплексная функция W(jw) называется комплексным коэффициентом передачи  САУ или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) САУ. Модуль этой функции представляет собой АЧХ, а аргумент – ФЧХ.

В общем случае W(jw) может быть представлен в виде числа

                          ,                                   (1.15)

где P(w) – называется вещественной частотной характеристикой САУ (ВЧХ);

Q(w) – называется мнимой частотной характеристикой САУ (МЧХ).

Между собой ВЧХ, МЧХ и АЧХ, ФЧХ связаны

                                (1.16)

График  называется годографом - год =

АФЧХ тесно связана с передаточной функцией САУ. При синтезе и анализе систем используются частотные методы, для этого к уравнению (1.1) следует применить преобразование Фурье. Для получения АФЧХ расчетным путем необходимо в передаточной функции звена или САУ положить Рисунок 1.5 – АЧХ, ФЧХ и     p = jw.

ВЧХ,МЧХ

                                                       

 

Пример 1.2.

Для функции   ,     ,

должно быть .

Пусть входная величина изменяется по синусоидальному закону, тогда:

,       (1.17)

или в комплексной форме

,   (1.18)

 

тогда

.

                                                                                                                                               (1.19)

 

Таким образом, действительно АФЧХ получилась из передаточной функции заменой p = jw, в общем случае можно записать:

                            W(jw) = [W(p)]_{р = jw}.                                          (1.20)