Второе свойство статистической совокупности — средний уровень признака в статистической совокупности

В медицине и здравоохранении при анализе, кроме распреде­ления, довольно часто используют средние величины, характе­ризующие физическое развитие пациентов (рост, масса тела, окружность груди и т. д.), данные их обследования (частота ды­хания и пульса, артериальное, внутриглазное и внутричерепное давление и т. д.), результаты анализов (содержание гемоглоби­на, число эритроцитов, лейкоцитов, СОЭ) и др. В каждой со­вокупности и в данных конкретных условиях один и 'тот же признак отличается от величины этого же признака в другой со­вокупности, при наличии других условий. Так, величина пуль­са, артериального давления, температуры тела, длительность временной нетрудоспособности и другие критерии отличаются (варьируют) даже у больных с одним диагнозом. Иными слова­ми, признаки могут принимать различные числовые значения у разных единиц совокупности, при этом нередко могут повто­ряться у нескольких единиц наблюдения.

Полученные при исследовании одного и того же признака у единиц наблюдения статистической совокупности абсолютные величины сначала записывают в том порядке, как их получает исследователь, т. е. хаотично.

 Каждое числовое значение изу­чаемого признака называется вариантой (V), а числа, показы­вающие, как часто повторяются одни и те же варианты, назы­вают частотой (Р).

Ряд вариант одного и того же признака, рас­положенных в определенном порядке (по степени возрастания или убывания), с соответствующими им частотами, образуют вариационный ряд.

Вариационные ряды бывают простые или несгруппированные, которые составляют, как правило, при ма­лом числе наблюдений (до 30 единиц наблюдения), и сгруппи­рованные, которые составляют при большом числе наблюдений (более 30 единиц наблюдения).

Обобщенной характеристикой вариационного ряда являются средние величины, положительные качества которых заключаются в том, что они характеризуют большую совокупность однородных явлений.

Различают несколько видов средних величин:«Мода, медиана, средняя арифметическая, средняя геометрическая,средняя гармоническая и т. д.

Модой (Мо) называется варианта, встречающаяся с наиболь­шей частотой.

М едианой (Me) — варианта, которая делит вариа­ционный ряд пополам и расположена в середине вариационно­го ряда, если ряд нечетный, и если ряд четный, то определяется как полусумма двух средних вариант.

Наиболее часто в характеристике вариационного ряда ис­пользуют среднюю арифметическую. Средняя арифметическая, которая рассчитана в вариационном ряду, где каждая варианта встречается только 1 раз, называется средней арифметической простой. Ее определяют по формуле:

 

где М — средняя арифметическая,

V — варианта изучаемого признака,

п — число наблюдений.

Если в исследуемом ряду одна или несколько вариант по­вторяются несколько раз, то вычисляют среднюю арифметиче­скую взвешенную, когда учитывается вес каждой варианты в за­висимости от частоты ее встречаемости. Расчет такой средней проводят по формуле:M =

где М - средняя арифметическая взвешенная,

V -  варианты (числовые значения изучаемого признака), р — частота, с которой встречается одна и та же варианта признака, т. е. сумма вариант с данным значением признака,

п - число наблюдений, т. е. сумма всех частот или общее число всех вариант (𝞢р).

Например, при определении среднего пульса у студентов пе­ред экзаменом следует сначала вычислить 𝞢V• р, а за­тем среднюю величину, которая составила М = 76,9 уд/мин (2000/26) (табл. 5).

                                                                                                              Таблица 5

Определение среднего пульса у студентов-мужчин 20-22 лет

 

Пульс у студентов-мужчин (V)	Число студентов (p)
68 69 72 76 77 79 80 84 86	1 1 4 5 4 7 1 2 1 𝞢p = n = 26	68 69 288 380 308 553 80 168 86  = 2000

 

Нередко при большом числе наблюдений для вычисления средней арифметической взвешенной используют сгруппиро­ванный вариационный (или разбитый на равные интервалы) ряд. Такой вариационный ряд должен быть непрерывным, ва­рианты, расположенные в определенном порядке (возрастания или убывания), следуют друг за другом (табл. 6).

При группировке вариационного ряда следует учитывать, что интервал выбирает исследователь, величина интервала зависит от цели и задач исследования.

Число групп в сгруппированном вариационном ряду определяют в зависимости от числа наблюдений. При числе наблюдений от 31 до 100 рекомендуется иметь 5-6 групп, от 101 до 300 - от 6 до 8 групп, от 301 до 1000 наблюдений можно использовать от 10 до 15 групп. Расчет интервала (i) производится по формуле (округление в сторону увеличения): 

i =

где i - величина интервала,

Vmax - максимальное значение варианты,

Vmin - минимальное значение варианты.

                                                                                                          Таблица 6

Определение среднего роста студентов-мужчин 20-22 лет

Рост студентов-мужчин (V), см.	Центральная варианта группы ()	Число студентов (p)
160-164 165-169 170174 175-179 180-184 185-189	162 167 172 177 182 187	4 21 47 68 54 18   𝞢p = n = 212	648 3507 8084 12036 9828 3366

 

Расчет средней взвешенной в сгруппированном (или интервальном) ряду требует определения середины интервала, которую вычисляют как полусумму крайних значений группы.

Пример составления сгруппированного вариационного ряда представлен в табл. 6, а расчет средней величины производят по формуле:

Однако при большом числе наблюдений, достаточно протяженном вариационном ряду рекомендуется среднюю взвешенную вычислять по способу моментов (табл. 7).

 

                                                                                                          Таблица 7

Определение среднего роста студентов-мужчин 20-22 лет

Рост студентов-мужчин (V), см.	Центральная варианта группы ()	Число студентов (p)		а p
160-164 165-169 170174 175-179 180-184 185-189	162 167 172 177 182 187	4 21 47 68 54 18   𝞢p = n = 212	-3 -2 -1 0 +1 +2	-12 -42 -47 0 +54 +36 𝞢а p = -11

 

Этот способ основан на том, что средняя равна любой произвольно (условно) взятой средней (M₁) за которую чаще всего принимается мода (Мо), плюс среднее отклонение всех вариант от условно средней (первый момент средней):

 ,

где М - средняя арифметическая (взвешенная),

 А₁ - условно взятая средняя величина (наиболее чаще встречающееся величина),

i- величина интервала,

 а - отклонение между центральными вариантами групп и условной средней

величиной, выраженное в интервалах ,

р - частота (число раз, с которым встречается одна и та же варианта признака),

п — число наблюдений, т. е. сумма всех частот или об­щее число всех вариант (𝞢р);

 

Таким образом, средняя взвешенная, вычисленная по спо­собу моментов, составила 176,74 см, что практически совпало с расчетами средней обычным методом - 176,7 см. Однако при вычислении средней по способу моментов используют простые цифры, вычисления менее громоздки, что значительно облег­чает и ускоряет расчеты.

Средняя арифметическая (средняя взвешенная) имеет ряд свойств, которые используют в некоторых случаях для упроще­ния расчета средней и получения ориентировочной величины.

1. Средняя арифметическая занимает срединное положение в строго

симметричном вариационном ряду (М = Mo= Me).

2. Средняя арифметическая имеет абстрактный характер и является

обобщающей величиной, выявляющей закономерность.

3.  Алгебраическая сумма отклонений всех вариант от сред­ней равна нулю.

 На этом свойстве основан расчет средней по способу моментов.

4.  Если к каждой варианте вариационного ряда прибавить или отнять одно

и то же число, то на столько же увеличится или уменьшится средняя

 арифметическая величина.

5.  Если каждую варианту разделить или умножить на одно и то же число,

 то во столько же раз уменьшится или увеличится средняя

арифметическая.

Два последних свойства используют в тех случаях, когда ва­рианты представлены очень малыми или наоборот большими числами.

В медицине и здравоохранении средними величинами оценивают отдельные показатели (параметры физического раз­вития), сравнивая данные лабораторных и других исследований с нормой. Следует учитывать, что средние рассчитывают на большой однородной группе, поскольку нарушение этого принципа приводит к искажению реальных процессов.

Графическое изображение вариационного ряда может быть представлено в виде графиков симметричного  асимметрич­ного распределения  в зависимости от числа на­блюдений и изучаемого признака.